Suites majorées

Titi le curieux
Titi le curieux
dans Fondements et Logique
Bonjour,
   On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe des ensembles d'ordinaux  dont toutes les parties dénombrables sont majorées (outre les ensembles qui ont un majorant, sinon c'est de la triche).
 Merci d'avance

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (July 2024)
    Si j'ai bien compris ta question, $\aleph_1$ est un ensemble d'ordinaux dont toutes les parties dénombrables sont majorées. C'est relié à la notion de cofinalité.
  • Poirot
    Poirot
    Je ne suis pas sûr de comprendre la question. Tu cherches un ensemble $O$ d'ordinaux tel que pour toute partie dénombrable $P$ de $O$, il existe $\alpha \in O$ majorant tout élément de $P$ ? Si oui, il te suffit de prendre l'ensemble des ordinaux dénombrables, alias $\omega_1$.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Modifié (July 2024)
    Re-bonjour,
    C'est bien ça, je vais me renseigner sur la cofinalité.
    @Poirot : je n'arrive pas à voir pourquoi, je me le garde en exercice.

    Merci à vous deux.

     Edit: J'ai trouvé pour l'exemple de Poirot, ça vient du fait qu'une union dénombrable d'ensemble dénombrable reste dénombrable. Merci encore.

  • Foys
    Foys
    Soit $\omega_1$ le premier ordinal non dénombrable (qui est aussi noté $\aleph_1$ quand on étudie spécifiquement des cardinaux). Soit $E$ un ensemble dénombrable d'ordinaux appartenant à $E$. Alors la réunion des éléments de $E$ est un ordinal dénombrable qui les contient tous (au vu des objets envisagés ça peut se montrer sans axiome du choix sauf erreur) et donc $E\in \omega_1$. Donc dans $\omega_1$, toute partie dénombrable est majorée.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Modifié (July 2024)
    Foys a dit:
    la réunion des éléments de $E$ est un ordinal dénombrable qui les contient tous (au vu des objets envisagés ça peut se montrer sans axiome du choix sauf erreur)
    Il y a bien erreur!!! Voir ici: https://math.stackexchange.com/questions/1327683/first-uncountable-ordinal-cofinality-needs-ac
    Encire une pathologie de la théorie des ensembles :o;)

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Martial
    Martial
    @Foys : en fait on utilise seulement l'axiome du choix dénombrable $AC_\omega$. C'est lui qui te permet de démontrer que toute réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, ce qui donne trivialement le résultat ci-dessus.
    En niant fortement AC on peut fabriquer (horreur indicible !) un modèle de ZF dans lequel $\omega_1$ est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Ça doit sûrement traîner dans Jech : "The Axiom of Choice".
  • Congru
    Congru
    Modifié (July 2024)
    @Martial et @Foys je crois que je tiens une démonstration de ce théorème dans le cas des parties dénombrables de $\aleph _1$ sans $AC$:
    1. Lemme. Pour tout ordinal infini $\alpha$, on a $\left|\alpha\times\alpha\right|=\left|\alpha\right| $ (Démonstation sans AC)
    2.Théorème. Soit $\kappa$ un cardinal infini, soit $A$ un ensemble s'injectant dans $\kappa$ et dont tout élément s'injecte dans $\kappa$ . Alors s'il existe une application $f$ de domaine $A$ qui à tout élément $ a\in A$ associe une injection de $a$ sur $\kappa$ alors $\bigcup  A$ s'injecte dans $\kappa$. (Démonstration sans AC)
    3. Si on prend pour $\kappa$ l'ordinal $\aleph _1$ et pour $A$ une partie dénombrable de $\aleph _1$ alors le tour est joué.







    Mathématiques divines
  • Congru
    Congru
    Modifié (July 2024)
    Titi le curieux a dit :
    Bonjour,
       On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe des ensembles d'ordinaux  dont toutes les parties dénombrables sont majorées (outre les ensembles qui ont un majorant, sinon c'est de la triche).
     Merci d'avance

    Modification:
       "On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe un ordinal $\alpha$ tel que pour toute partie dénombrable $B$ de $\alpha $, $B$ a un majorant dans $\alpha $ (on suppose que $\alpha$ n'a pas de maximum, sinon c'est de la triche).
     Merci d'avance"
    Edit. Les ordinaux qui ont un maximum sont les ordinaux successeurs.

    Mathématiques divines
  • Congru
    Congru
    Modifié (July 2024)
    Congru a dit :

    1. Lemme. Pour tout ordinal infini $\alpha$, on a $\left|\alpha\times\alpha\right|=\left|\alpha\right| $ (Démonstation sans AC)
    2.Théorème. Soit $\kappa$ un cardinal infini, soit $A$ un ensemble s'injectant dans $\kappa$ et dont tout élément s'injecte dans $\kappa$ . Alors s'il existe une application $f$ de domaine $A$ qui à tout élément $ a\in A$ associe une injection de $a$ sur $\kappa$ alors $\bigcup  A$ s'injecte dans $\kappa$. (Démonstration sans AC)

    Vrai

    Congru a dit :

    3. Si on prend pour $\kappa$ l'ordinal $\aleph _1$ et pour $A$ une partie dénombrable de $\aleph _1$ alors le tour est joué.

    Trivial et hors sujet. Ce qu'il faudrait serait que je prenne $\kappa =\aleph _0$, mais je n'ai pas de fonction qui à chaque ordinal associe une injection vers son cardinal. Donc là j'ai dit une bêtise. Désolé, j'ai mélangé $\aleph _0$ et $\aleph _1$ dans ma tête. Je vous remercie de m'avoir laissé corriger mon erreur par moi même.
    Mathématiques divines
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français