Carrés et doubles de carrés
Bonjour,
Pour $n$ entier strictement positif on pose : $h(n)=\Big\lfloor \dfrac{n+1}{1+\sqrt2}\Big\rfloor-\Big\lfloor \dfrac{n}{1+\sqrt2}\Big\rfloor+1$.
On pose enfin : $u_n= h(n)\times \Big\lfloor \dfrac{n+1}{1+\frac{\sqrt2}{3-h(n)}}\Big\rfloor^2$.
Montrer que cette suite prend exactement et dans l'ordre les valeurs :$ 1,2,4,8,9,16,18,25,32,36,\dots$ soit https://oeis.org/A028982.
Réponses
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Tout le. mode aime les polynômes : $n^2,2n^2 $, mais les gens vont se détourner avec effroi et horreur de cette plaie lamentable de cette fonction qui donne tantôt l’un tantôt l’autre.
Amicalement
Cidrolin -
Monsieur Cidrolin :- ça sert à quoi la beauté ?- quel est son rapport avec la vérité ?
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Je ne réponds qu'aujourd'hui car je n'ai pas eu le temps de chercher hier.
Cet exercice se résout avec les deux suites de Beatty associées : $a_n=\lfloor n(1+\sqrt2)\rfloor$ et $b_n=\lfloor n(1+1/\sqrt2)\rfloor$.On montre que $h(n)=2$ si et seulement si $n=a_k$ d'où $h(n)=1$ si et seulement si $n=b_k$.
On en déduit que $u_n=2k^2$ si $n=a_k$ et $u_n=k^2$ si $n=b_k$.
Enfin $j\sqrt2<k$ est équivalent à $a_j<b_k$.
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Bravo jandri.
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@samok :The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. - Godfrey Harold Hardy
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Bonjour!
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