Réflexions sur une démonstration de géométrie
Bonjour,
Je viens d'achever ce qui me semble être une démonstration mathématique au sens actuel de ce mot, d'une propriété géométrique simple mais probablement méconnue concernant ce qu'on appelle la droite de Gray.
Je rappellle de quoi il est question : Soit $A,B$ et $C$ trois points d'un plan affine euclidien $\mathcal P$ formant un triangle $ABC$. Soit $I$ le centre de son cercle inscrit, $I_a$ le symétrique orthogonal de $I$ par rapport à $BC$(noté $U$ sur la figure ci-dessous), et circulairement(etc.). Alors $AI_a$(etc.) sont concourantes en un point $X=X(79)$ nommé le point de Gray, et la droite $\color{red}XI$ est parallèle à la droite $\color{red}e$ d'Euler.
https://www.geogebra.org/classic/w7dmreqq

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Si derrière "en barycentriques", on s'entend sur ce qu'on veut signifier par cet assemblage de deux mots, ma démonstration est la suivante :
En barycentriques, $det(AI_a,,)=0$ autrement dit $AI_a$(etc.) sont concourantes en $$X=X(79)\doteq \bigcap_{a}^{}AI_a$$De plus, $XI\times e$ est un point de la droite de l'infini. Autrement dit $XI$ est parallèle à la droite $e.\square$
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En quelque sorte, la démonstration ne s'impose même pas et les calculs nécessaires sont confiés à un logiciel de calcul formel qui confirme le résultat attendu. Dans certains contextes(quand je m'adressais à Vassillia par exemple ici), la démonstration pourrait se limiter à : "Trivial.$\square$" plus justement qu'à "Evident.$\square$" puisqu'il faut quand même qu'un logiciel de calcul formel tourne pendant moins d'une seconde. Et pourtant, la propriété géométrique est loin d'être évidente, n'est-ce pas?
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Pour moi, c'est nouveau. Je m'en suis rendu compte tout-à-l'heure en achevant ma démonstration, qui est le fruit d'un long labeur préalable, où il m'a fallu me familiariser avec le logiciel sagemath, ou encore avec d'autres démonstrations géométriques de Rescassol par exemple.
Ma question est donc naïvement sincère : que pensez-vous de ce genre de preuve quasi-automatique? Quelle est votre expérience à ce sujet?
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Cordialement, Stéphane.
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Remarque : m'adressant à des logiciens et des personnes intéressées, je n'ai pas cru bon me plier aux conventions de l'enseignement secondaire où on limite souvent le champ d'étude de la "géométrie élémentaire". Je note par exemple $XI\times e$ le point d'intersection de la droite d'Euler et de la droite $(XI)$ et $det(AI_a,,)$ au lieu de $det(AI_a,BI_b,CI_c)$. On pourra par ailleurs noter $\widehat{\mathcal P}$ l'enveloppe vectorielle de $\mathcal P$ et $\mathrm P_{\mathbb R}(\widehat{\mathcal P})$ l'espace projectif réel associé, pour répondre aux exigences de rigueur de @Foys par exemple.
Réponses
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Il fallait mettre ce fil en géométrie, je crois.
Mathématiques divines -
Bonjour,
L'ensemble des points $P=[u;v;w]$ tels que les droites $(AP_a),(BP_b),(CP_c)$, où $P_a,P_b,P_c$ sont les symétriques de $P$ par rapport aux côtés de $ABC$, est la cubique de Neuberg $K001$.
Cette cubique passe effectivement par $I$ entre autres.
Cordialement
Rescassol
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@Congru : la géométrie n'est ici qu'un prétexte. Je m'intéresse ici modestement davantage à des choses telles que The logic theorist d'Allen Newell et Herbert Simon de 1956. Comme le souligne Rescassol, la propriété mathématique énoncée n'a en soi que peu d'intérêt puisqu'elle est une conséquence directe d'une propriété plus générale. C'est tout au plus un exercice qui me sert de prétexte à une réflexion - oserai-je une nuance? - sur l'un de ses aspects en tant qu'exercice. Difficile de réfléchir sur du vide même si ici, le contenu mathématique est, je le répète, presque vide.Cordialement, Stéphane.
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Bonjour,J'espère qu'on m'excusera la digression suivante, qui prolonge de façon très audacieuse
la réflexion initiée dans le post:
Mon postulat est que la recherche sur l'IA ferait fausse route si elle oubliait l'aspect fondamental des interactions humains-machine. L'un des aspects les plus nobles du développement de l'IA serait l'aide à l'apprentissage, à l'instruction des êtres humains. Ce sera un aspect forcément négligé par les puissances de l'argent car ne rapportant que peu de retour sur investissement. Et pourtant c'est probablement le seul susceptible de développer l'IA dans les proportions souhaitées par ces mêmes puissances. La différence entre une machine et un être humain a été pointée dès les années 60 : c'est l'absence d'émotion chez une machine(voir Hubert Dreyfus par exemple). La machine peut discourir savamment sur la bière mais n'en a goûté ni les joies ni les affres. Tout au plus peut-elle écrire que par deux bocks de bière, il passe une table et une seule. Ce que fait la machine, c'est mettre en relation les objets par des liens logiques : la machine fait des mathématiques. Le coeur de l'IA est la mathématique.Ici, la machine, sagemath par exemple, développera des connaissances gigantesques pour un être humain lambda sur la géométrie du triangle. Mais quel goût a la géométrie du triangle?"Long ago, someone drew a triangle and three segments across it. Each segment started at a vertex and stopped at the midpoint of the opposite side. The segments met in a point. The person was impressed and repeated the experiment on a different shape of triangle. Again the segments met in a point. The person drew yet a third triangle, very carefully, with the same result. He told his friends. To their surprise and delight, the coincidence worked for them, too. Word spread, and the magic of the three segments was regarded as the work of a higher power. Centuries passed, and someone proved that the three medians do indeed concur in a point, now called the centroid.$^1$"Quel intérêt pour une machine de développer toujours davantage des connaissances si ce n'est pour les transmettre à l'enfant qui toujours revivra cet éternel émerveillement des trois segments qui se rencontrent en un même point ou de droites parallèles comme ici $$e\text{ et }X_{79}X_{1}$$L'intelligence est partagée ou elle n'est pas. Les biens communs n'ont rien à voir avec le Capital qui se noiera dans ses contradictions internes. L'intelligence est un bien commun ou elle n'est pas.Cordialement, Stéphane._____________________________________$^1.- $ Il y a longtemps, quelqu’un a dessiné un triangle et trois segments en travers. Chaque segment commençait à un sommet et s'arrêtait au milieu du côté opposé. Les segments se sont rencontrés en un point. La personne a été impressionnée et a répété l’expérience sur une forme de triangle différente. Encore une fois, les segments se sont rencontrés en un point. La personne a encore dessiné un troisième triangle, très soigneusement, avec le même résultat. Il l'a dit à ses amis. À leur grande surprise et pour leur plus grand plaisir, la coïncidence a fonctionné pour eux aussi. La nouvelle s'est répandue et la magie des trois segments a été considérée comme l'œuvre d'une puissance supérieure. Les siècles ont passé et quelqu'un a prouvé que les trois médianes concouraient effectivement en un point, aujourd'hui appelé centre de gravité du triangle. (traduction par google-traduction, légérement corrigée)
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