Suites majorées
Bonjour,
On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe des ensembles d'ordinaux dont toutes les parties dénombrables sont majorées (outre les ensembles qui ont un majorant, sinon c'est de la triche).
Merci d'avance
Réponses
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Si j'ai bien compris ta question, $\aleph_1$ est un ensemble d'ordinaux dont toutes les parties dénombrables sont majorées. C'est relié à la notion de cofinalité.
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Je ne suis pas sûr de comprendre la question. Tu cherches un ensemble $O$ d'ordinaux tel que pour toute partie dénombrable $P$ de $O$, il existe $\alpha \in O$ majorant tout élément de $P$ ? Si oui, il te suffit de prendre l'ensemble des ordinaux dénombrables, alias $\omega_1$.
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Re-bonjour,C'est bien ça, je vais me renseigner sur la cofinalité.@Poirot : je n'arrive pas à voir pourquoi, je me le garde en exercice.Merci à vous deux.Edit: J'ai trouvé pour l'exemple de Poirot, ça vient du fait qu'une union dénombrable d'ensemble dénombrable reste dénombrable. Merci encore.
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Soit $\omega_1$ le premier ordinal non dénombrable (qui est aussi noté $\aleph_1$ quand on étudie spécifiquement des cardinaux). Soit $E$ un ensemble dénombrable d'ordinaux appartenant à $E$. Alors la réunion des éléments de $E$ est un ordinal dénombrable qui les contient tous (au vu des objets envisagés ça peut se montrer sans axiome du choix sauf erreur) et donc $E\in \omega_1$. Donc dans $\omega_1$, toute partie dénombrable est majorée.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Foys a dit:
la réunion des éléments de $E$ est un ordinal dénombrable qui les contient tous (au vu des objets envisagés ça peut se montrer sans axiome du choix sauf erreur)
Encire une pathologie de la théorie des ensembles
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys : en fait on utilise seulement l'axiome du choix dénombrable $AC_\omega$. C'est lui qui te permet de démontrer que toute réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, ce qui donne trivialement le résultat ci-dessus.En niant fortement AC on peut fabriquer (horreur indicible !) un modèle de ZF dans lequel $\omega_1$ est réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Ça doit sûrement traîner dans Jech : "The Axiom of Choice".
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@Martial et @Foys je crois que je tiens une démonstration de ce théorème dans le cas des parties dénombrables de $\aleph _1$ sans $AC$:1. Lemme. Pour tout ordinal infini $\alpha$, on a $\left|\alpha\times\alpha\right|=\left|\alpha\right| $ (Démonstation sans AC)2.Théorème. Soit $\kappa$ un cardinal infini, soit $A$ un ensemble s'injectant dans $\kappa$ et dont tout élément s'injecte dans $\kappa$ . Alors s'il existe une application $f$ de domaine $A$ qui à tout élément $ a\in A$ associe une injection de $a$ sur $\kappa$ alors $\bigcup A$ s'injecte dans $\kappa$. (Démonstration sans AC)3. Si on prend pour $\kappa$ l'ordinal $\aleph _1$ et pour $A$ une partie dénombrable de $\aleph _1$ alors le tour est joué.
Mathématiques divines -
Titi le curieux a dit :Bonjour,On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe des ensembles d'ordinaux dont toutes les parties dénombrables sont majorées (outre les ensembles qui ont un majorant, sinon c'est de la triche).Merci d'avance
Modification:"On est dans ZFC, je ne sais pas si il existe un ordinal $\alpha$ tel que pour toute partie dénombrable $B$ de $\alpha $, $B$ a un majorant dans $\alpha $ (on suppose que $\alpha$ n'a pas de maximum, sinon c'est de la triche).Merci d'avance"Edit. Les ordinaux qui ont un maximum sont les ordinaux successeurs.
Mathématiques divines -
Congru a dit :1. Lemme. Pour tout ordinal infini $\alpha$, on a $\left|\alpha\times\alpha\right|=\left|\alpha\right| $ (Démonstation sans AC)2.Théorème. Soit $\kappa$ un cardinal infini, soit $A$ un ensemble s'injectant dans $\kappa$ et dont tout élément s'injecte dans $\kappa$ . Alors s'il existe une application $f$ de domaine $A$ qui à tout élément $ a\in A$ associe une injection de $a$ sur $\kappa$ alors $\bigcup A$ s'injecte dans $\kappa$. (Démonstration sans AC)VraiCongru a dit :3. Si on prend pour $\kappa$ l'ordinal $\aleph _1$ et pour $A$ une partie dénombrable de $\aleph _1$ alors le tour est joué.Mathématiques divines
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