$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(kw^k)$
dans Algèbre
Bonjour, soit $w$ un nombre complexe et soit la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(kw^k)$. J'aimerais connaître une expression équivalente à cette somme dans laquelle n'apparaissent ni $\sum$ ni $k$, mais seulement $w$ et $n$. Merci.
"La langue française ne mourrira jamais"
Réponses
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Je sais que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}w^k=\dfrac{w^{n+1}-1}{w-1}$, mais je dois trouver la solution lorsqu'on a $kw^k$.
"La langue française ne mourrira jamais" -
Il y a un lien avec la dérivée d'une somme géométrique.
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Cela dit, je ne sais pas si un tel résultat existe. Je pose la question à tout hasard.
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Tu peux suivre l'indication de guiguiche ou encore partir de$$\sum_{k=0}^n k w^k = \sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^{k-1} w^k $$et échanger l'ordre de sommation.Il te faudra traiter à part le cas $w=1$.
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JLapin, je comprends ta formule, en revanche "échanger l'ordre de sommation", c'est pas quelque chose que je sais vraiment faire.
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Je peux essayer la formule $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(w^k)+\displaystyle\sum_{k=2}^{n}(w^k)+...+\displaystyle\sum_{k=n}^{n}(w^k)$
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salut
$ \sum_0^n kw^k = \sum_0^n (k + 1)w^k - \sum_0^n w^k = ...$
et $ (k + 1)x^k = ... $Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Bonjour,
Soit $x\in \mathbb{R}$, considérons la fonction $f$ polynôme, définie par
$$f(x)=1+x+\cdots+x^n.$$
Déterminer l'expression de la fonction $x\longmapsto x\times f'(x)$ en fonction de $x$ . En tenant alors compte des autres interventions, en particulier le cas $x=1$ qui est à traiter à part, alors tu as tous les éléments pour calculer la somme initiale en fonction de $w$ dans $\mathbb{C}$, je pense.
Jean-éric -
$n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(w^k)-1\times\displaystyle\sum_{k=1}^{1}(w^k)-2\times\displaystyle\sum_{k=1}^{2}w^k-...-(n-1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}w^{(n-1)}$je sais pas si j'ai pas fait d'erreurs."La langue française ne mourrira jamais"
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Non je crois que j'ai écrit n'importe quoi.c'est plutôt $n\times w^n+...+1\times w^1$non c'est faux, j'arrive pas à effacer ce message"La langue française ne mourrira jamais"
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$n\times w^1+(n-1)w^2+...+1\times w^n$on tourne en rond"La langue française ne mourrira jamais"
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Dr_Piradian a dit :JLapin, je comprends ta formule, en revanche "échanger l'ordre de sommation", c'est pas quelque chose que je sais vraiment faire.C'est une somme triangulaire :$$\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^{k-1} z_{i,k} = \sum_{0\leq i<k\leq n} z_{i,k} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=i+1}^n z_{i,k}.$$Tu n'as plus qu'à remplacer $z_{i,k}$ par $w^k$ et à calculer la dernière somme double.
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Le deuxième sigma du membre de droite est égale à $\dfrac{w^{n+1}-w^{i+1}}{w-1}$
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et on réutilise ce résultat récursivement avec le premier sigma.
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Bonjour,Juste une petite question parce qu'il y a eu au moins deux messages sur le thème (Bravo à JLapin pour avoir trouver une astuce qui évite la notion). @Dr_Piradian est-ce que tu as déjà la notion de dérivée et la formule de la dérivée d'un polynôme?
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Titi, bien sûr, j'ai étudié les dérivés en 1ère.
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Dr_Piradian a dit :Le deuxième sigma du membre de droite est égale à $\dfrac{w^{n+1}-w^{i+1}}{w-1}$
mais le problème c'est que le $i$ ne doit pas apparaître. Je ne sais pas comment faire disparaître le $i$.
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Ok,Je te donne le truc de guiguiche et jean-eric (mais te conseille de ne pas t'encombrer tout de suite, continue sur le truc de JLapin) : Soit le polynôme $P(X) = \displaystyle \sum_{k= 0}^n X^{k+1}$, ta somme est égale à $P'(\omega) - \frac{P(\omega)}{\omega}$.
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En fait je crois qu'il suffit tout simplement de remplacer $i$ par $0$ si je ne dis pas de bêtise.Dr_Piradian a dit :Dr_Piradian a dit :Le deuxième sigma du membre de droite est égale à $\dfrac{w^{n+1}-w^{i+1}}{w-1}$
mais le problème c'est que le $i$ ne doit pas apparaître. Je ne sais pas comment faire disparaître le $i$.
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Si $X_i$ est égal à $\dfrac{w^{n+1}-w^{i+1}}{w-1}$, le premier sigma sera égal à $\dfrac{X_{i}^{n}-1}{X_{i}-1}$, mais étant donné que dans le premier sigma, $i$ est initialisé à $0$, alors il suffit simplement de remplacer $i$ par $0$.
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Mais bon ça se trouve je raconte n'importe quoi.
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Dr_Piradian a dit :Dr_Piradian a dit :Le deuxième sigma du membre de droite est égale à $\dfrac{w^{n+1}-w^{i+1}}{w-1}$
mais le problème c'est que le $i$ ne doit pas apparaître. Je ne sais pas comment faire disparaître le $i$.
L'indice $i$ disparaîtra quand tu auras sommé pour $i$ entre $0$ et $n-1$ ce que tu nous proposes. -
Et je rejoins @Titi le curieux : est-ce que les notions de polynôme et de dérivée formelle d'un polynôme sont connues de l'OP ? Car on ne peut se contenter de connaissances de la classe de première sur les fonctions polynomiales de la variable réelle ici, sauf à deviner une formule puis la démontrer par récurrence.Bref, @Dr_Piradian , quel est ton niveau d'étude ?
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jean-éric, $f$ et $g$ sont égaux donc aussi leur dérivé, notre formule est égale à la dérivée de $f$ à laquelle on soustrait $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ et à laquelle on ajoute $nx^n$
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JLapin, j'ai le niveau Bac S (12/20 il y a 23 ans), et j'étudie en ce moment L1 en autodidacte.
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Du coup, tu as rencontré $\C[X]$ et $\C(X)$ dans ton étude du programme de L1 ?
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JLapin, d'ici quelques jours je commencerai le chapitre sur les polynômes.
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On a $f'(x)=1+2x+3x^2$ pour tout $x$ réel, donc $x\times f'(x)=x+2x^2+3x^3 = \sum\limits_{k=0}^3 kx^k$, qui vaut aussi $x\times g'(x)$ pour $x\neq 1$, qu'il suffit de calculer, c'est d'ailleurs ta demande initiale dans ce cas particulier, si j'ai bien suivi.
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jean éric, oui, ta résolution est beaucoup plus directe que celle que j'ai donnée.
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Soit $S$ la somme que tu recherches :
$$\frac{d}{dw}\Sigma_{k=0}^n w^{k+1} = S + \Sigma_{k=0}^n w^{k}$$ et tu sais exprimer ces deux sommes.
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Bonjour!
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