Pour déconoïder un peu

Bonjour,
Un exercice un peu rusé :smile:
Lignes asymptotiques du conoïde droit d'axe $Oz$ d'équation $z = F(y/x)$ ?
Toubib or not toubib...
Un requin marteau vaut dix faisans fous.

Réponses

  • Bonjour,
    les dites lignes n'existent qu'au voisinage de points paraboliques ou hyperboliques (ici, tous le sont) ; la ruse (si ruse il y a) consiste à poser $y=tx$ et, (miracle), on obtient les droites $y=ax,z=F(a)$ et, une  seconde famille satisfaisant à une EDO très simple : $t'F''(t)-2F'(t)/x$ qui est à variables séparables.

    On la résout : $x^2=CF'(t)$ et donc, avec un choix (local) d'une constante de même signe que $F'(t)$, on a $x(t)=\sqrt{CF'(t)}, y=tx(t),z=F(t)$.
  • J'ai fait autrement, en partant de $dpdx + dqdy = 0$.
    Un requin marteau vaut dix faisans fous.
  • Obtiens-tu la même chose ? Je espère en toute occasion que mes calculs seront validés !
  • Piteux_gore
    Modifié (July 2024)
    $dpdx + dqdy = 0$ donne
    $[2xy F'(y/x) + y^2 F''(y/x)]dx^2 - 2[x^2 F'(y/x) + xy F''(y/x)]dxdy + x^2 F''(y/x)dy^2 = 0$
    $2x(ydx - xdy)F'(y/x)dx + (y^2dx^2 - 2xydxdy + x^2dy^2)F''(y/x) = 0$
    $2x(ydx - xdy)F'(y/x)dx + (ydx - xdy)^2F''(y/x) = 0$
    $2xF'(y/x)dx + (ydx - xdy)F''(y/x) = 0$,
    $2dx/x = (xdy - ydx)F''(y/x)/x^2F'(y/x)$
    $d(\ln x^2) = d[\ln F'(y/x)]$
    $x^2 = C F'(y/x)$.
    Le cas $xdy - ydx = 0$ correspond aux génératrices.
    Un requin marteau vaut dix faisans fous.
  • Bonjour,
    il est possible d'épiloguer à propos de cet exercice : 
    1) Un conoïde, comme toute surface réglée, n'a (parmi ses points réguliers) que des points paraboliques ou hyperboliques car, en tout point $M$, l'intersection d'icelui avec le plan tangent contient au moins la génératrice passant par $M$.

    2) Les génératrices satisfont à l'EDO (qui est toujours d'ordre $1$ pour les asymptotiques) mais pas vraiment à la condition géométrique puisque, étant des droites, elles n'ont pas vraiment de plans osculateurs ; en fait, tout plan qui en contient une est osculateur et cela explique tout.

    3) J'avais vérifié mes résultats en prenant l'exemple du conoïde d'équation $ZY^3=pX^3$ (des cubes, afin  que la racine carrée de $F'$ s'arrange bien). Mis à part les génératrices, les asymptotiques sont alors les cubiques gauches paramétrées par $t\mapsto(at,at^2,pt^3)$.

    Piteux_gore : un conoïde vaut mieux que dix quoi ?


  • Un con iodé vaut dix conoïdes.
    Un requin marteau vaut dix faisans fous.
  • Question naïve, mais ça ressemble à quoi un conoïde ???
  • Les génératrices d'un cône sont issues d'un même point (sommet), alors que les génératrices d'un conoïde sont issues d'une même droite.
    Un requin marteau vaut dix faisans fous.
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