Mesures de probabilité et intersection

SandwichFromage · 1 Jul

Bonjour,

Soit $(\Omega, \mathcal A) $ un espace mesurable et soient $P,Q$ deux mesures de probabilité dessus. Soient $A,C\in \mathcal A$.

Si on a $P(A) = Q(A)$ et $P(B) = Q(B)$, a-t-on nécessairement $P(A \cap B ) = Q(A \cap B )$ (ou $P(A \cap \overline B ) = Q(A \cap \overline B )$) ?

On me prétend que oui, et que ça découle des propriétés élémentaires des mesures, mais je ne vois pas du tout pourquoi.

marco · 1 Jul

Non, si $\Omega=\{1,2,3,4\}$ et $P(1)=P(2)=P(3)=1/6$ et $P(4)=1/2$ et si $Q(1)=1/3=Q(3)$ et $Q(2)=0$ et $Q(4)=1/3$, et si $A=\{1,2\}$ et $B=\{2,3\}$, alors $P(A)=Q(A)$ et $P(B)=Q(B)$, mais $P(A \cap B ) = 1/6$ et $Q(A \cap B ) =0$.

SandwichFromage · 1 Jul

Effectivement, mais alors j'ai l'impression que mon livre fait une preuve fausse.

Je cite le livre :

"Théorème : Si $P$, $Q$ sont deux probabilités définies sur $\mathcal A$ coïncident sur une classe $\mathcal C$ stable par intersection (finie), et si $\sigma(\mathcal C) = \mathcal A$, alors P = Q.

Démonstration : $\Omega \in \mathcal A$ parce que $\mathcal A$ est une tribu, et comme $P(\Omega) = Q(\Omega) = 1$, on peut supposer sans perte de généralité que $\Omega \in \mathcal C$. Soit $\mathcal B = \{ A \in \mathcal A, P(A) = Q(A) \}$. Par définition d'une mesure de probabilité et par le théorème 2.3, $\mathcal B$ est stable par différence et par limite croissante. (...)"

Je ne vois pas pourquoi $\mathcal B$ serait stable par différence au vu du contre-exemple qu'on vient de donner.

Plus tôt le théorème 2.3 disait seulement :
Théorème 2.3 : Soit $\mathcal A$ une tribu de $\Omega$. Supposons que $P : \mathcal A \to [0,1]$ vérifie
(1) $P(\Omega) = 1$
(2) $\forall A,B \in \mathcal A, A \cap B = \emptyset \implies P(A \cup B ) = P(A) + P(B ) $
Alors il y a équivalence entre
(i) $P$ est $\sigma$-additive
(ii) $\forall (A_n) \in \mathcal A, A_n \downarrow \emptyset \implies P(A_n) \downarrow 0$
(iii) $\forall (A_n) \in \mathcal A, A_n \downarrow A \implies P(A_n) \downarrow P(A)$
(iv) $\forall (A_n) \in \mathcal A, A_n \uparrow \Omega \implies P(A_n) \uparrow 1$
(v) $\forall (A_n) \in \mathcal A, A_n \uparrow A \implies P(A_n) \uparrow P(A)$

raoul.S · 1 Jul

En fait dans ton bouquin lorsqu'il dit : par le théorème 2.3, $\mathcal B$ est stable par différence, il faut comprendre ça : pour tout $A,B\in \mathcal B$, $A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in \mathcal B$. Ensuite je pense que dans la preuve il invoque le théorème de la classe monotone et ça marche.

SandwichFromage · 1 Jul

En effet j'avais mal lu ! Je pensais qu'il ne demandait pas $A\subset B$ dans la définition de "stable par différence". En effet c'est ça la définition qu'il prend, du coup oui aucun problème.

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