Minimisation d'une espérance

zorg · 29 Jun

$X$ est une variable aléatoire (v.a) de support $\{1,2,3\}$ telle que $\mathbf{P}(X=1)=1/2$, $\mathbf{P}(X=2)=1/4$ et $\mathbf{P}(X=3)=1/4$ et $Y$ une v.a suivant la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$. Déterminer la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$.

On a $\mathbf{E}((X-Y)^2) = \mathbf{E}(X^2) + \mathbf{E}(Y^2) -2\mathbf{E}(XY) = \frac{101}{12} -2\mathbf{E}(XY) $. La question revient à chercher la valeur maximale de $\mathbf{E}(XY)$.

On sait que $\mathbf{cov}(X,Y) = \mathbf{E}(XY) - \mathbf{E}(X)\mathbf{E}(Y)$ de sorte que

$\mathbf{E}(XY) = \mathbf{cov}(X,Y) + \mathbf{E}(X)\mathbf{E}(Y) = \mathbf{cov}(X,Y) + \frac{7}{2}$. Il s'agit donc de trouver la valeur maximale de $\mathbf{cov}(X,Y)$.

D'après Cauchy-Schwarz, on sait que $\mathbf{cov}(X,Y) \le \sigma(X)\sigma(Y) = \frac{\sqrt{66}}{12}$ avec égalité si et seulement si il existe $(a,b) \in \R^2$ tel que $Y=aX+b$ presque sûrement. Mais peut-on avoir cette égalité avec les lois de $X$ et $Y$ données dans l'énoncé ?

Et si $\mathbf{cov}(X,Y) $ n'est pas égal à $\sigma(X)\sigma(Y)$ comment trouver sa valeur maximale ?

zygomathique · 29 Jun

salut

puisque Y suit la loi uniforme sur {1, 2, 3} ne peux-tu pas calculer exactement la covariance de X et Y ?

avec un tableau à double entrée donnant P(X = i et Y = j) avec $ (i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$

Georges Abitbol · 29 Jun

Une idée (je ne sais pas jusqu’où elle mène) : notons $a_{i,j} := P[X=i \ et \ Y=j]$. Alors l’ensemble des $(a_{i,j})_{i,j}$ possibles est celui défini par les équations $\sum_{j} a_{1,j} = \frac{1}{2}$, etc. C’est un polyèdre convexe.

Tu vas donc te retrouver à minimiser une fonction quadratique sur un polyèdre convexe. Tu es sûr ou sûre d’y arriver (il suffit de chercher les minima dans l’intérieur, sur les faces, etc.) et peut-être qu’en chemin tu trouveras une meilleure astuce !

zorg · 29 Jun

J'avais en effet pensé à écrire

$a=\mathbf{P}(X=1,Y=1)$, $b=\mathbf{P}(X=1,Y=2)$, $c=\mathbf{P}(X=1,Y=3)$, $d=\mathbf{P}(X=2,Y=1)$, $e=\mathbf{P}(X=2,Y=2)$, $f=\mathbf{P}(X=2,Y=3)$, $g=\mathbf{P}(X=3,Y=1)$, $h=\mathbf{P}(X=3,Y=2)$

et $i=\mathbf{P}(X=3,Y=3)$.

Après calcul $\mathbf{E}(XY) = a+2(b+d)+3(c+g)+4e+6(f+h)+9i$. En tenant compte des équations $a+b+c=\frac{1}{2}$ etc, on obtient $\mathbf{E}(XY)=\frac{1}{4}(16a+8b+8d+4e+9)$. Il s'agit donc de maximiser cette fonction de 4 variables sachant qu'on a certaines inégalités à respecter $a+d \le \frac{1}{3}$, $b+e \le \frac{1}{3}$, $\frac{1}{6} \le a+b \le \frac{1}{2}$, $d+e\le \frac{1}{4}$ et $\frac{5}{12} \le a+d+b+e \le \frac{2}{3}$. Je ne vois pas comment on fait.

Barjovrille · 29 Jun

Bonjour, il vient d'où ton exercice ? Si tu gardes les contraintes d'égalité tu peux utiliser : https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_du_simplexe , si tu veux résoudre à la main tu peux utiliser la remarque de wikipedia qui dit que si un optimum existe il suffit de le chercher parmi les sommets du polyhèdre qui sont en nombre finis. (je n'ai pas du tout regardé si le nombre de sommets est raisonnable).

zorg · 29 Jun

L'exercice est un exercice de prépa filière PC. La méthode du simplexe n'est pas au programme. Donc il faut peut-être procéder " à la main ".

gebrane · 29 Jun

Tu peux utiliser wolfram

gebrane · 29 Jun

Tu peux utiliser wolfram https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=daa12bbf5e4daec7b363737d6d496120

Georges Abitbol · 29 Jun

@Barjovrille : pour un maximum oui, mais pour un minimum ? Genre le minimum de $x\mapsto x^2$ sur $[-1,1]$. Les maxima d’une fonction convexe sont sur des sommets, oui.

marco · 29 Jun

On a $a+b+c=1/2$, $d+e+f=1/4$, $g+h+i=1/4$

Et $a+d+g=b+e+h=c+f+i=1/3$

On cherche à minimiser $S=E((X-Y)^2)=b+d+f+h+4c+4g$.

Or $1/2+1/3+1/4+1/3=(a+b+c)+(a+d+g)+(g+h+i)+(c+f+i)=(b+d+f+h)+2c+2g+2a+2i=S-2c-2g+2a+2i$
Donc on cherche à minimiser $c+g-a-i$.

Donc on choisit $a=1/3$ et $c=0$, car $a\leq 1/3$, donc $a-c \leq 1/3$.

Et on choisit $g=0$, $i=1/4$, car $i \leq 1/4$, donc $i-g \leq 1/4$.

On trouve alors $a=1/3$, et $b=1/6$, et $c=0$

Et $d=0$, $e=1/6$, $f=1/12$. Et $g=h=0$ et $i=1/4$.

Donc $S=1/2+1/3+1/4+1/3-2/3-2/4=1/4$

Barjovrille · 30 Jun

Bonjour @Georges Abitbol , oui mais je parlais de quand la fonction à minimiser est linéaire (celle qui apparait dans le message de zorg juste avant le mien).

dirikly · 30 Jun

Bonjour

pour deux v.a discrètes positives on a bien $E(XY)\leq E(X)E(Y)$
à gauche : $E(XY)=\sum_i p_i q_i x_i y_i$
à droite : $E(X) E(Y)=\left(\sum_i p_i x_i\right)\left(\sum_i q_i y_i\right)$
donc :

$$E\left((X-Y)^2\right) = E\left(X^2\right)+E\left(Y^2\right)-2 E(X Y) \geqslant V(X)+V(Y)+(E(X)-E(Y))^2$$

zorg · 30 Jun

@marco : je ne comprends pas pourquoi $\mathbf{E}((X-Y)^2) = 𝑏+𝑑+𝑓+ℎ+4𝑐+4𝑔$ ?

@dirikly : je ne comprends pas pourquoi $\mathbf{E}(XY) = \sum_{i=1}p_iq_ix_iy_i$ ?

Même si $X$ et $Y$ sont positives, $\mathbf{cov}(X,Y)=\mathbf{E}(XY)-\mathbf{E}(X)\mathbf{E}(Y)$ peut être positif ou négatif.

gebrane · 30 Jun

Très amusant tout ça ! Avec un programme linéaire, j'obtiens que max E(XY) = 49/12.
Qui a raison ?

gebrane · 30 Jun

dirikly a dit :

Bonjour

pour deux v.a discrètes positives on a bien $E(XY)\leq E(X)E(Y)$

Je suis vraiment paumé, je ne vois pas comment démontrer cette assertion

marco · 30 Jun

@zorg : Si $X=Y$ (c'est-à-dire si $X=Y=1$ ou $X=Y=2$ ou $X=Y=3$), alors $(X-Y)^2=0$. Ce sont les probabilités $a,e,i$.

Si $X-Y=\pm 1$, (c'est-à-dire si $X=1$ et $Y=2$ ou $X=2$ et $Y=1$ , ou $X=3$ et $Y=2$ ou $X=2$ et $Y=3$) alors $(X-Y)^2=1$. Ce sont les probabilités $b,d,f,h$.

Si $X-Y=\pm 2$, alors $(X-Y)^2=4$. Probabilités $c$ et $g$.

Donc $E((X-Y)^2)= 0 \times (a+e+i)+ 1 \times (b+d+f+h)+ 4 \times (c+g)$

marco · 30 Jun

@gebrane : d'après @zorg $E((X-Y)^2)=\frac{101}{12}-2E(XY)$.

Si $\max E(XY)=\frac{49}{12}$, alors $\min E((X-Y)^2)=\frac{101-2 \times 49}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

J'obtiens le même résultat.

gebrane · 30 Jun

Merci pour la confirmation marco, le programme en ligne est http://www.simplexme.com/fr/eingabe_9_6?

zorg · 30 Jun

@marco OK merci, j'ai confondu $\mathbf{E}(XY)$ et $\mathbf{E}((X-Y)^2)$.

P.2 · 30 Jun

Minimiser $E((X-Y)^2)$ est minimiser $E((X'-Y')^2)$ avec $X'=X-2$ et $Y'=Y-2$ ou encore maximiser $ E(X'Y')$ qui prend la valeur 1 pour $X'=Y'=\pm 1$ la valeur $-1$ pour $X'=-Y'=\pm 1$ et zero ailleurs. Il faut choisir la loi jointe qui charge au maximum $X'=Y'=\pm 1$. et au minimum $X'=-Y'=\pm 1$. En tatonnanr je trouve une solution, unique en fait $$\Pr((-1,-1))=1/3,\ \Pr((-1,0)=\Pr((0,0))=1/6,\ \Pr((0,1))=1/12, \Pr((1,1))=1/4.$$

gebrane · 30 Jun

J'ai posé une question ici https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2488280/#Comment_2488280 et puisque personne ne réagit. Je ne vais pas laisser cette erreur grossière. C'est faux

guiguiche · 1 Jul

Déjà, avec Y=X, c'est faux.

P.2 · 1 Jul

Je continue en confirmant le calcul de gebrane: puisque le meilleur $E(X'Y')=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$ le meilleur $E(XY)$ est $$E((X'+2)(Y'+2))=E(X'Y')+2E(X')+2E(Y')+4=\frac{7}{12}-2\times \frac{1}{4}+2\times 0+4=\frac{49}{12}$$

gebrane · 1 Jul

Bien vu @guiguiche

P.2 Bravo ( et aussi marco) , moi j'ai utilisé un logiciel, c'est moins brillant

zorg · 1 Jul

Merci pour vos réponses.

@P.2 : le coup de symétriser le problème est bien vu !

Minimisation d'une espérance

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