Réduction forme bilinéaire symétrique

topopot
topopot
Modifié (June 2024) dans Algèbre
Salut,

Il s'agit d'un extrait de cours de niveau prépa sur lequel j'ai deux questions dans la démonstration.



1) Dans ce que j'ai surligné en jaune, j'espère ne passer à côté d'une subtilité mais $F$ est exactement de dimension $n-1$ non ? Il s'agit d'un hyperplan de $E$ en tant que noyau de la forme linéaire non nulle $x\mapsto\varphi (e_1,x)$. Je me demande pourquoi ils disent donc que $F$ est de dimension $\geqslant n-1$ même si ça n'est pas faux... Et du coup, ça ne sert à rien de faire une récurrence forte.

2) Cette démonstration est valable pour n'importe quel corps (commutatif) $\mathbb K$ n'est-ce pas ? 

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    Tu as raison pour l'hyperplan, par contre la démonstration n'est pas valable pour un corps de caractéristique 2.
  • topopot
    topopot
    Merci. 

    À quel moment est utilisée l'hypothèse sur la caractéristique différente de 2 ?
  • dSP
    dSP
    La démonstration utilise implicitement la correspondance bijective entre formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques, qui tombe en caractéristique $2$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Précisément, considère la forme bilinéaire symétrique de matrice $\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$ sur un corps de caractéristique 2.
  • dSP
    dSP
    Le bon énoncé en caractéristique $2$ est le suivant : toute forme bilinéaire symétrique non alternée (sous-entendu : sur un espace de dimension finie) possède une base orthogonale. La démonstration est substantiellement plus délicate que celle donnée ici.
  • topopot
    topopot
    Merci @GaBuZoMeu et @dSP
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français