Question sur les lois de probabilité discrètes
Bonjour,
Je ne m'y connais pas en probabilités et je lis un texte d'introduction en ce moment.
Soit $\Omega $ un ensemble non vide, une loi de probabilité discrète sur $\Omega $ est une partie $P$ de $\Omega\times [0;1] $ qui vérifie que la somme de $\begin{cases}
\begin{array}{ccc}
P & \to & \left[0;1\right]\\
v & \mapsto & \pi_{_{2}}v
\end{array}\end{cases}
$ est égale à $1$. Faut-il ajouter que cette partie est une application ? je demande cela car j'ai constaté qu'on a l'habitude de noter les lois de probabilité discrètes comme des sommes.
Notation: $\pi _2 $ à tout couple associe sa seconde projection.
Mathématiques divines
Réponses
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J'ai trouvé ma réponse.
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Bonjour,Par curiosité, peux-tu indiquer de quel texte il s'agit ? Ce que tu nous en dis me paraît très bizarre.
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Le livre que je lis est intitulé "Calcul des probabilités", il est écrit par Dominique Foata et Aimé Fuchus. A la première page du chapitre "4" il parle d'une suite d'élements de $\mathbb R \times \Omega $. Passer par les suites n'étant pas nécessaires pour la sommabilité, j'ai un peu modifié cette définition en parlant plutôt des parties de $\Omega \times [0;1]$, cela pourrait "correspondre" à l'image d'une suite de la définition d'origine (sauf si le même couple apparait plusieurs fois dans la suite, mais je ne crois pas qu'on veille des suites où il y a des termes qui se répètent).
Mathématiques divines -
j'ai un peu modifié cette définition
Bref, tu as transformé un texte clair et sans problème en un truc sans queue ni tête ...
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Voilà le début du chapitre 4, et je ne vois pas le rapport avec ce que tu écris.
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En gros je veux donner un sens à la notation $\sum_{n}\alpha_{_{n}}\varepsilon_{_{\omega_{_{n}}}}$.
Mathématiques divines -
@GaBuZoMeu généralement la rédaction classique des textes sur la probabilité n'est pas très connue pour sa clarté...Edit. Pour les probabilistes, je ne dis pas cela méchamment, et je modifie des choses pour me rapprocher de la zone où je suis à l'aise.Mathématiques divines
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Je ne vois pas en quoi le texte du livre n'est pas clair et je ne comprends pas l'intérêt de tes "changements".
Sinon je te conseille "probabilités pour les non-probabilistes" de Appel qui est vraiment très clair de mon point de vue. -
Merci @Héhéhé, aussi je ne repproche rien au texte, mais il faut que je le rapproche de ma zone de confort. Et je voulais vraiment donner un sens à la notation $\sum_{n}\alpha_{_{n}}\varepsilon_{_{\omega_{_{n}}}}$ qui me semble porteuse de l'intuition qu'on devrait avoir de la chose.
Mathématiques divines -
En gros je veux donner un sens à la notation $\sum_{n}\alpha_{_{n}}\varepsilon_{_{\omega_{_{n}}}}$
Disons qu'il n'y a pas 36 façons de procéder. Par définition, pour tout $A\in \mathfrak{U}$, $\left(\sum_{n}\alpha_{_{n}}\varepsilon_{_{\omega_{_{n}}}}\right)(A):=\sum_{n:\omega_n\in A}\alpha_{_{n}}$.
De manière plus générale, si $(\mu_I)_I$ est une famille de mesures de probabilité (ou mesures tout court) et $(\alpha_i)_I$ une famille sommable de réels positifs vérifiant $\sum_I\alpha_i=1$ alors l'application $\sum_I \alpha_i\mu_i:\mathfrak{U}\to \R^{+}$ définie par $A\mapsto \sum_I \alpha_i\mu_i(A)$ est une mesure de probabilité.
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Ben, si $(f_i)_i$ est une famille d’applications à valeurs réelles de même domaine $X$, on dit qu’elle est sommable si pour tout $x\in X$, la famille $(f_i(x))_i$ est sommable. Dans ce cas, la somme de la famille de fonctions est ce qu’on imagine. C’est une autre façon de définir la somme dont tu parles.
PS : je dis la même chose que Raoul. -
Merci @raoul.S et @Georges Abitbol.@Georges Abitbol cette définition avec une famille est assez proche de la mienne.Dans la définition du livre ce que je n'ai pas aimé c'est qu'ils partent d'un élément de $(\mathbb R \times \Omega )^\mathbb N $ sans plus de précisions, alors qu'intuitivement ils ne veulent pas de répétitions de termes dans cette suite et ils veulent même que chaque élément de $\Omega $ ait au plus une occurrence. Donc parler plutôt d'une partie fonctionnelles de $\Omega \times [0;1] $ me semble plus adéquat.Mathématiques divines
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En pratique on choisit des suites avec des éléments distincts de $\Omega$, mais la définition du livre marche même si ce n'est pas le cas.
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Voilà.Définition: On appelle loi de probabilité discrète tout couple $(\Omega ; V)$ tel que $\Omega \not = \emptyset $ et $V$ est une partie fonctionnelle de $\Omega \times [0;1] $ et $V$ est de somme $1$.Soit $(\Omega ; V)$ une loi de probabilité discrète, on définit $p:=\begin{cases} \begin{array}{ccc} \mathcal{P}\Omega & \to & \left[0;1\right]\\ A & \mapsto & \Sigma\left(V\restriction_{_{A}}\right) \end{array}\end{cases} $
Mathématiques divines -
L'opération « obscurcissement » continue gaillardement.
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Puisqu'il te dit que ça l'éclaire... Tant que ceci n'est pas présenté sous la contrainte à des étudiants du premier cycle, je n'y vois pas d'inconvénients personnellement
A part, ça, je trouve également la présentation du livre un peu trop jemenfoutiste : ces non-mentions d'injectivité m'agacent.
Je présente mes excuses aux auteurs : la définition est tout à fait licite, comme mentionné plus haut. -
@Math Coss sérieusement, quand on compose une fonction continue $\phi $ avec une variable aléatoire $X$, on note cela $\phi (X)$ plutôt que $\phi \circ X$. On écrit $p(X=4) $ et $p(2<X<7)$ plutôt que $p(X^{-1}(4))$ et $p(X^{-1}(]2;7[)) $, et c'est moi qui obscurcis ?La proba a un langage différent du reste des maths, bon vu son développement avant la création de la théorie des ensembles c'est compréhensible. Mais bon, on n'est plus au moyen âge.
Mathématiques divines -
Le formalisme peut être une aide, il peut aussi être un boulet. Ce qu'on veut d'une notation, c'est qu'elle soit évocatrice. Plutôt que penser une variable aléatoire comme une fonction, il est souvent utile de la penser comme « un élément de son ensemble d'arrivée tiré au hasard ». Un point essentiel de la formalisation moderne des probabilités, c'est de cacher l'univers et d'y avoir recours aussi peu que possible. Si c'est $X$ qu'on étudie, seule compte la loi de $X$ et pas l'univers et l'application précis qui formalisent $X$.Partant, on lit « $p(X=4)$ » comme « la probabilité que $X$ vaille $4$ » de façon très fluide, au contraire de « $p(X^{-1}4)$ » qui renvoie à l'image réciproque d'une application dont on veut oublier l'ensemble de départ (autant que possible).De même, quand on dit « 3 » à une personne humaine, il est – me semble-t-il – fort rare qu'elle traduise « $\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ ».
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Je pense que 99,99% des matheux s'accordent à dire que $P(X=4)$ est plus clair que $P(X^{-1}(\{4\})$.Congru a dit :@Math Coss sérieusement, quand on compose une fonction continue $\phi $ avec une variable aléatoire $X$, on note cela $\phi (X)$ plutôt que $\phi \circ X$. On écrit $p(X=4) $ et $p(2<X<7)$ plutôt que $p(X^{-1}(4))$ et $p(X^{-1}(]2;7[)) $, et c'est moi qui obscurcis ?La proba a un langage différent du reste des maths, bon vu son développement avant la création de la théorie des ensembles c'est compréhensible. Mais bon, on n'est plus au moyen âge. -
Non, là, je suis d’accord avec Congru. J’ai fait un blocage avec les probas pendant longtemps parce que je ne comprenais pas cette notation. Maintenant, ça va mieux.
Toutefois, je ne crois pas que cette notation persiste pour des raisons historiques (« moyen-âge ») mais plutôt parce qu’elle est évocatrice, en effet. -
Non seulement elle est évocatrice, mais elle est maniable.
Imaginons que $X$ soit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $]0,1[$ et que je veuille montrer que $-\frac{1}{\lambda} \ln U$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (avec $\lambda > 0$).
En passant par la fonction de répartition, pour tout $x \in \mathbb R$, on a
$$F_X(x) =P(X \leq x) = P\left( -\frac{1}{\lambda} \ln(U) \leq x\right) = P\big( \ln(U) \geq - \lambda\,x\big) = 1 - P\big( U < \exp(- \lambda\,x)\big) = 1 - P\big( U \leq \exp(- \lambda\,x)\big)= 1 - F_U\big( \exp(- \lambda\,x)\big)$$
et on peut conclure à partir de là en utilisant la fonction de répartition de $U$.
Sans cette notation, ces calculs deviennent horriblement lourds !
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J'espère que tout le monde comprend que ce que je reproche au livre sont des choses qui ne sont pas propres au livre mais qui sont présents presque partout en proba.Edit. Parole de non initié aux probas.Mathématiques divines
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Etant donné un ensemble fini $\Omega$, une probabilité sur $\Omega$ est une fonction $P$ de $\Omega$ dans $[0,1]$ telle que $\sum_{x \in \Omega} P(x) = 1$.
Oui les textes mathématiques courants de probabilités emploient abondamment des abus de langage. Il va falloir s'y faire ...
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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