$L^2(R)$

Ma réponse si $f_n\to g$ in $L^2(R)$ alors  $\hat{f_n}=e^{i n.}\hat{f}\to  \hat{g}$ in $L^2(R)$ (on a passé par Fourier).
Donc  $\hat{f_{n_k}}(\xi)=e^{i n_k.\xi}\hat{f}\to  \hat{g}(\xi)$  presque partout.
ce qui est impossible.
Je cherche une autre méthode sans Fourier.

Quelle ligne @gerard0

Oui tu as raison, merci @gerard0

Si $f\in L^2(R)$ alors par densité de l'espace de Schwartz $S(R)$ dans $f\in L^2(R)$ il existe une suite $f_n\in S(R)$ convergeant vers $f$ pour la norme $||.||_2$.
Alors la transformée de Fourier de $f$ est donnée par $\hat{f}=\lim_n \hat{f}_n$.
Il existe une autre définition en posant $\hat{f}(\xi)=\lim_{R\to\infty} \int_{|x|<R} e^{-ix\xi}f(x)dx$ pour la norme $||.||_2$.