cercle des 43 points

Bonjour,
Sur le cercle des 9 points on connait aujourd'hui 43 points (peut-être plus ?)
Quelqun peut-il me diriger vers un site ou document qui donne les propriétés de tous ces 43 points ?
A ce jour, mes recherches sont restées vaines.
merci
Salutations

Réponses

  • bonjour,
    dans le livre " Le cercle d'Euler" de Collet/Griso (Vuibert), le chapître 9 est consacré à une définition/démonstration de quelques uns de ces points :
    Théorème de Maurice d'Ocagne, théorème de Van den Berg, théorème de E.Lemoine, les points de Griffiths.
    Encore une fois, cette liste n'est pas exhaustive, mais voilà quelques pistes que tu peux explorer.
  • En fait il s'agit de centres de Kimberling.
    <BR>
    <BR>En première approche, tu peux aller voir sur Mathworld
    <BR><a href=" http://mathworld.wolfram.com/KimberlingCenter.html"&gt; http://mathworld.wolfram.com/KimberlingCenter.html</a&gt;
    <BR>Pour te familiariser avec les coordonnées trilinéaires, tu peux regarder l'exo que j'ai mis sur le serveur de ce site (section 2ème année, Géométrie, Triangles dans le plan)
    <BR>
    <BR>Si ensuite tu veux entrer dans le détail :
    <BR>
    <BR>LA référence semble être ici :
    <BR><a href=" http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html"&gt; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html</a&gt;
    <BR>
    <BR>Je donne aussi les adresses que m'a données J.-P. Ehrmann.
    <BR>
    <BR>journal de géométrie euclidienne
    <BR><a href=" http://forumgeom.fau.edu/"&gt; http://forumgeom.fau.edu/</a&gt;
    <BR>groupe de discussion
    <BR><a href=" http://groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/"&gt; http://groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/</a&gt;
    <BR>Pour ce qui concerne les cubiques dans un triangle
    <BR><a href=" http://perso.wanadoo.fr/bernard.gibert/"&gt; http://perso.wanadoo.fr/bernard.gibert/</a><BR&gt;
  • Bonjour à tous
    je n'ai à ce jour reçu aucune indication utile sur les 43 points particuliers connus aujourd'hui sur le cercle d'Euler d'un triangle.
    Les documents consulté ne parlent que des 9 points "classiques" et certains ajoutent les points de tangence avec les 4 cercles inscrits et exinscrits au triangle.
    Cela fait 13 points.
    Mais quels sont les 30 autres points ? Qui peut m'aider ?
    Merci d'avance.
  • bonjour

    m'est avis que tu ne t'es pas procuré le livre "Le cercle d'Euler" mentionné lors de ma première intervention.

    §6 p 18 : théorème des 12 points
    La symétrie de centre @ ,( centre du cercle d'Euler),transforme le triangle ABC en $A_0B_0C_0$;les pieds des hauteurs de ce triangle $A_0B_0C_0$sont sur le cercle d'Euler; d'où le nom du théorème.

    §26 p 63 :points de Schröter
    Soit un triangle scalène ABC, A'B'C' son triangle médial (Sortais dit médian),DEF son triangle orthique; les droites:
    B'C' et EF se coupent en U;
    C'A' et FD en V; A'B' et DE en W
    alors, les droites,
    A'U,B'V,C'W sont concourantes en un point S
    DU,EV,FW sont ..... point S';
    ces 2 points , appelés ...., sont ....

    §63 p148: Théorème de Van den Berg:
    le milieu du segment qui joint deux points jumeaux du triangle est un point du cercle d'Euler.

    §64 p 149: théorème de Lemoine:
    Les symétriques des 3 côtés d'un triangle ABC, par rapport à 3 parallèles menées par les sommets A',B',C' du triangle médial , concourent en un point du cercle d'Euler( point d'Ocagne)

    §65 p 150 : points de Griffiths
    soit la hauteur AD; H: l'orthocentre; (H): le cercle de centre H et de rayon rac(HA.HD);le cercle (H) coupe le cercle circonscrit en 2 points qui sont sur...
    donc là , tu en as 6 d'un coup.

    Dans le livre , il y en a d'autres ,plus longs à expliquer;
  • paulDH, ce n'est pas très gentil pour ceux qui t'ont répondu de te réveiller plus de trois semaines après en disant : "je n'ai à ce jour reçu aucune indication utile..."

    As-tu seulement cherché à avoir accès au livre dont te parle bs auprès d'une biliothèque ? (car ce livre n'est plus disponible à la vente -sauf peut-être en occasion- depuis que les éditions Vuibert ont été absorbées par Dunod qui a récupéré le fonds mais sans tout ré-éditer).
  • Je rêve tout de bout !!!

    Je lui dis de quoi il s'agit, à savoir de centre de Kimberling il vient répondre qu'il n'a eu aucune information utile.

    Tu vas sur Mathworld, tu regardes à l'article Nine point circle et tu trouves :

    The nine-point circle also passes through Kimberling centers for (the Feuerbach point), 113, 114, 115 (center of the Kiepert hyperbola), 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 (center of the Jerabek hyperbola), 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 1312, 1313, 1560, 1566, 2039, 2040, and 2679.

    Ensuite tu as dans les liens que je t'ai donnés tout ce qu'il faut pour comprendre ce qu'est un centre de Kimberling.

    C'est si dur que ça de se sortir les doigts du cul ? (Désolé pour la modération mais là ça me gave !!!)
  • Bravo, paulDH, voilà le résultat : maintenant Eric est très énervé et c'est sûr qu'à l'avenir il va y regarder à deux fois pour se "casser le cul" à aller chercher des références dont il a le secret...

    ça fait quand même longtemps qu'Eric nous régale sur ce forum, alors, pitié, paulDH, plutôt que de fanfaronner, un simple merci serait quand même le minimum...
  • bojour à tous
    oui, oui, je suis impardonnable . Trop de soleil sur la tête pendant les vacances sans doute. Et je n'avais pas exploré à fond les infos fournies par eric.
    Merci eric, toutes les infos sont dans mathworld de Wolfram, mais il est nécessaire de complèter avec l'encyclopédie de Karl Kimberling.
    Ces documents sont parfois difficiles à exploiter. De nombreux recoupements sont nécessires. Toute la geométrie du triangle est à revoir.
    Je m'y emploie.
    Merci aussi à bs, mais leCercle d'Euler de Michel Collet est en rupture de stock chez Amazon.
    Et enfin Aleg: un langage plus chatié siérait mieux à ce forum. Sans recune.
    Salutations
  • bojour à tous
    Moi aussi je pense qu'un langage plus chatié siérait mieux à ce forum. Sans recune.
    Et si on démontrait un ou deux des résultats avancés ?
    Cordialement, Stéphane.
  • Avec GeoGebra on peut retrouver la liste des 35 points postés plus haut. On construit le triangle $ABC$ (quelconque!) puis le cercle $c$ passant par les milieux de ses côtés. On entre ensuite la commande :
    Unique(Séquence(Si(Distance(TriangleCentre(A, B, C, k), c) == 0, k, 0), k, 1, 10000))
    qui donnera cette liste (avec le 0 en plus).
  • stfj
    Modifié (17 Jun)
    Merci, cela fonctionne : https://www.geogebra.org/classic/fn4txsgt. Pour ceux qui ne la connaîtraient pas, il faut peut-être rappeler la commande TriangleCentre(A,B,C,n) pour placer ensuite le centre de numéro de Kimberling n.

  • TriangleCentre(A,B,C,n) renvoie le n-ième centre de Kimberling... en général, mais pas toujours, car parfois le logiciel ne renvoie rien du tout. Le premier entier pour lequel la commande échoue est $n=30$. Pour avoir les suivants :
    l1 = Séquence(Si(EstDéfini(TriangleCentre(A, B, C, k)), k, 0), k, 1, 10000)
    puis l2 = Unique(Séquence(Si(Elément(l1, k) == 0, k, 0), k, 1, Longueur(l1)))
    On trouve 30, 368, 369, 370, 511, 512, 513, etc. Il y en a un paquet ! Méfiance donc.
    PS : le site GGB indique que la commande TriangleCentre fonctionne pour les entiers $n< 3054$, ce qui est faux car elle échoue pour 228 d'entre eux.
  • Sour Geogebra, la commande TriangleCenter(A,B,C,30)  renvoie (?,?) ... ce qui n'est pas "rien du tout". Au contraire, TriangleCenter(A,B,C,31)  est effectivement le 31ème élément de la liste adéquate.

    Méfiance donc à l'égard des critiques émises par @Ludwig...   qui se garde bien de dire ce que, selon lui, la commande devrait répondre.
  • Oui, je n'ai pas regardé la définition de ces points... $X_{30}$, le point d'Euler à l'infini, est par exemple l'intersection de $X_{2}X_{3}$ (la droite d'Euler) avec $X_{1}X_{79}$, droites qui sont parallèles. Raison pour laquelle la commande renvoie $(?,?)$.
  • Cela dit on pourrait s'attendre à ce que la commande Droite(X1,X30) renvoie la parallèle à la droite d'Euler passant par le centre du cercle inscrit. Mais elle ne renvoie, pour le coup, absolument rien du tout. Autant dire que pour le logiciel $X_{30}$ n'existe tout simplement pas.
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