$\lim\limits_{n\to\infty}(2n \sin(\pi/n))$

Dr_Piradian
Dr_Piradian
dans Analyse
Bonjour, mon livre dit que $\lim\limits_{n\to\infty}(2n \sin(\pi/n))=2\pi$ mais il n'explique pas comment il trouvre le résultat. Comment on trouve ce résultat ?
"La langue française ne mourrira jamais"

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,
    Il faut faire un développement limité du sinus en 0.
  • Dr_Piradian
    Dr_Piradian
    J'ai pas encore vu les développements limités. Et le chapitre dans lequel cette formule apparaît n'est pas un chapitre d'analyse. Le livre a simplement mentionné ce résultat (dont on avait besoin) en prenant de l'avance sur les chapitres futurs, mais il n'a pas pris la peine de préciser la résolution du calcul. Je verrai ça quand j'étudierai les développements limités. Merci.
    "La langue française ne mourrira jamais"
  • OShine
    OShine
    Bonsoir,
    On s'en sort facilement avec les équivalents.
    Au voisinage de $0$, on a $\sin x \sim x$.
    Donc : $\sin ( \dfrac{\pi}{n} ) \sim \dfrac{\pi}{n}$.
    Ainsi : $2n \sin ( \dfrac{\pi}{n} ) \sim 2n \dfrac{\pi}{n} =2 \pi$
  • jean-éric
    jean-éric
    Modifié (June 2024)
    Bonsoir @Dr_Piradian,

    Il suffit, par exemple, d'utiliser un encadrement de $\sin x$. Montrer que, pour tout $x\geq 0$, $x-\frac{x^3}{6}\leq \sin x \leq x$.

    En utilisant cet encadrement, on détermine la limite.

    Reste alors à justifier cet encadrement. On peut par exemple étudier la fonction $f(x)=x-\sin x$. 

    Jean-éric.
  • math2
    math2
    La proposition d'OShine est très bien.


    Si tu n'as pas encore vu les équivalents, je vais dire différemment (avec moins d'outils) la même chose qu'OShine :
    par définition de la dérivée, le quotient $\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$ tend vers $\cos'(0)=1$ lorsque $x\to 0$, et on écrit alors $2n \sin(\pi/n)=2\pi \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$ qui tend alors vers $2\pi \times 1=2\pi$ en vertu de ce qui précède (prendre $x=\pi/n$)





  • Dr_Piradian
    Dr_Piradian
    J'ai compris les réponses de o shine et math2. Merci.
    "La langue française ne mourrira jamais"
  • dirikly
    dirikly
    Modifié (June 2024)
    Bonjour
    Tu peux interpréter cette limite de manière géomètrique
    On considère le demi-cercle de rayon $1$ , son aire est égale à $\frac{\pi}{2}$.
    on divise ce demi-cercle en $n$ secteurs cerculaires de même aire
    l'aire du demi-cercle est la limite de l'aire totale des $n$ secteurs cerculaires
    soit $a_n$ l'aire du premier secteur cerculaire délimitée par le triangle $AOB$
    $$a_n=\frac{1}{2}OA.OB. \sin(\widehat{AOB})$$
    $$a_n=\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{n})$$

    donc 
    $$\lim\limits_{n\to\infty}(n \sin(\pi/n))=\pi$$
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