Concours général 2024

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Réponses

  • JLT
    JLT
    A noter que l'administration met en ligne les sujets ici : https://eduscol.education.fr/1443/sujets-et-rapports-de-jury-du-concours-general-des-lycees-et-des-metiers
    Celui de 2024 n'a pas encore été posté.
  • Foys
    Foys
    Solutions à ce "problème" (qui est un problème de savoir ce que veut dire "défini par une expression mathématique" et non pas spécifiquement un problème de  définition de suite).

    1°) Dire qu' on étudie la suite définie par récurrence par $u_0:= a$ et $u_{n+1}:= \frac 1 {n+1} + f(u_n)$ où $f$ est une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que pour tout $x\in [0,+\infty[$, $f(x) = \sqrt x$.

    2°) Lire mon laïus page précédente et pourquoi pas adopter Bourbaki (qui résout ce problème de définitions dans tous les cas, dans l'esprit du 1°) ci-dessous d'ailleurs: les "ensembles de définitions" ne sont pas les ensembles où les images d'une fonction "existent" ou même "ont du sens", mais sont ceux où vous savez ce qui se passe et où vous savez éventuellement ce que vaudra l'évaluation de la fonction).

    3°) (Logique) Soit  $\mathcal L$ un langage du premier ordre, $R(x_1,...,x_n, y)$ et $P$ des énoncés de $\mathcal L$, et $f$ un symbole de fonction à $n$ arguments qui ne figure pas dans $\mathcal L$. 
    S'il existe une démonstration formelle (en logique classique du premier ordre, et sur le langage $\mathcal L \cup \{f\}$) de $\left [\forall  x_1 \forall x_2 ... \forall x_n R\left (x_1,...,x_n, f(x_1,...,x_n) \right) \right ] \Rightarrow P$  alors il en existe également une dans $\mathcal L$) de $\left [\forall  x_1 \forall x_2 ... \forall x_n \exists yR\left (x_1,...,x_n, y\right) \right ] \Rightarrow P$ (ce résultat est un corollaire du théorème de complétude mais peut-être démontré de façon algorithmique avec le théorème d'élimination des coupures et le théorème d'Herbrand).

    Ce résultat peut être employé pour introduire dans les maths des symboles de fonction à la volée; $P$ va être de la forme $(A_1 \wedge A_2 \wedge ... \wedge A_m) \Rightarrow B$ où les $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont des axiomes d'une théorie de référence (comme ZF mais attention dans ce dernier cas au fait que les $f$ rajoutés ne pourront pas apparaître dans des instances de schémas d'axiomes employés, sauf quand les $f$ font partie de véritables définitions i.e. lorsque il est de plus établi dans la théorie ambiante que pour tous $x_1,...,x_n$, il existe un $y$ et un seul tel que $R(x_1,...x_n, y)$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLT
    JLT
    Menfin c'est un peu ridicule de disserter des pages et des pages sur cette question qui ne sera probablement pas discriminante pour déterminer les lauréats.
  • Foys
    Foys
    Modifié (April 2024)
    @JLT ladite question a été évoquée non pas pour tenter de la résoudre mais pour deux raisons:
    1°) ledit exo aurait déjà été posé sous une forme légèrement différente dans une édition antérieure du concours général (le règlement du concours oblige-t-il le jury a proposer des exercices entièrement inédits?)
    2°) (le plus important) la suite est-elle définie correctement. Alors je précise que j'ai pris la conversation en cours de route et que le malaise était déjà là plusieurs messages auparavant (et se propage dans d'autres parties du forum, des gens demandent comment définir des suites par récurrence etc). Le problème des définitions de notions a été résolu par la logique il y a un siècle environ, avec des solutions lourdingues certes (par exemple opérateurs de description définie/indéfinie) mais qui marchent.
    Je viens aussi parce que malheureusement je sais d'expérience que ces questions ne reçoivent quasiment jamais de réponses correctes (et on me rétorque sèchement que c'est moi ou d'autres individus semblables qui créons de toutes pièces ces problèmes de nature logique que les enfants ne remarqueraient jamais. En attendant les grands enfants qui viennent sur le forum n'arrêtent pas de manifester leur gêne vis-à-vis de ces mêmes problèmes via des questions comme "comment expliquerais-je à mes élèves que la suite/fonction est  bien définie" etc. Donc autant leur répondre).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLT
    JLT
    Je ne parle pas de l'exo entier mais de la question si la suite est bien définie. Il est évident que pour un élève de terminale, une réponse moyennement rigoureuse du type "si $u_n$ est ben définie et $\geqslant 0$ alors $u_{n+1}$ aussi" est acceptable, et que de toute façon cette question n'est qu'une "question-pour-les-nuls" comme le dit Chaurien avec tact et qu'elle ne sert à rien pour établir le palmarès.
  • Congru
    Congru
    @JLT désolé mais le fait que ce soit une "question pour les nuls" n'est pas un bon argument.
    C'est un concours de mathématiques et on s'y intéresse pour les mathématiques. On peut disserter même sur des millions de pages s'il le faut, pourvu que ce qu'on dise soit mathématiquement pertinent. Après je ne suis pas modérateur comme toi, mais cela est mon opinion.
    Mathématiques divines
  • JLT
    JLT
    Je ne parlais pas en tant que modérateur. Je dis juste que du point de vue des élèves candidats l'intérêt mathématique est ailleurs dans le sujet.
  • JLapin
    JLapin
    Moi j’opterais pour une formulation comme : «  Pour tout réel α≥0,  démontrer qu'en posant u0=α et un+1=1n+1+u−−√n pour tout n∈N on définit une suite (un)n∈N, et que  un≥0 pour tout n∈N ». L'assertion à démontrer par récurrence, ce n'est pas « un≥0 », c'est      « un existe et un≥0 ».

    Je partage cet avis.

    Merci @V@J  de partager ses réflexions ainsi que le pdf !


  • Osvaldo
    Osvaldo
    Bonjour,
    Je me permets d'intervenir à nouveau au sujet de la dernière question du problème 1, dont je cherche encore une solution...
    Apparemment elle n'est pas si facile puisque Gilbert Julia l'a laissée ouverte (il s'agit de démontrer que la propriété peut être initialisée quel que soit le terme initial).
    Quelqu'un a-t-il une idée ?
    Merci
  • joquinenc
    joquinenc
    Il semble maintenant que l'initialisation pourrait être acquise pour alpha <1,44x10(puissance86). Certes cela ne démontre rien et la question 10 reste ouverte.
  • Audeo
    Audeo
    Bonjour,

    pour la question 10 du problème 1, il me semble que l'on peut procéder de la façon suivante :
    • $1+\dfrac25\leqslant w_5$ d'où, pour tout entier $n\geqslant 5$, $1+\dfrac2n\leqslant u_n$ ;
    • par ailleurs, comme $(u_n)$ converge vers $1$ d'après 9), il existe un rang $n_0$, que l'on peut supposer supérieur ou égal à $5$, à partir duquel $u_n\leqslant 4$ ; il suit, pour tout entier $n\geqslant n_0$, $$2\leqslant n(u_n-1)\leqslant (n-n_0)(t_{n-n_0}-1)+n_0(t_{n-n_0}-1)$$ avec, d'après 8), le membre de droite qui tend vers $2$.
  • DeGeer
    DeGeer
    Je ne sais pas si quelqu'un l'avait signalé, mais le sujet a été posté sur Eduscol, à l'adresse fournie par @JLT en haut de la page.
  • Osvaldo
    Osvaldo
    Merci  @DeGeer pour le sujet

    Et grand merci @Audeo pour la solution de la question 10 !
    Je retiens l'idée d'encadrer $u_n$ par $w_n$ et surtout de l'autre côté par $t_{n-n_0}$ pour $n\ge n_0$ dès lors que $u_{n_0}\le t_0$.
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