Quartique de Loriga

Bonjour,
J'avais, dans le temps, envisagé l'hypothèse d'une courbe définie par une équation polaire implicite.
Voici un exemple déniché dans le tome 4 des exercices Arnaudiès-Fraysse :smile:
$r^4 - 2r^3 \cos 3\theta + r^2 - 1 = 0$.
Allicroco...
Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)

Réponses

  • Ludwig
    Modifié (15 Jun)
    Bonjour,
    Une figure, où $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ :

  • Peut-on tracer la courbe dans Geogebra ?
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Oui, sous la forme d'un lieu.
  • On peut trouver une équation cartésienne en simplifiant $\cos(3\arctan(u))$.
  • Pour obtenir la courbe avec GeoGebra j'ai mis un point $M$ sur l'axe des abscisses puis je note $r=OM$, je calcule un angle $t$ vérifiant l'équation polaire implicite. Je place $N(r;t)$ puis je demande le lieu de $N$ lorsque $M$ varie. Le reste de la courbe est obtenue par symétrie et rotation.
    Une équation cartésienne de cette courbe est : $$(x - 1)^2 x^2 + 2x (x + 3) y^2 + y^4 + y^2 - 1 = 0.$$ Google : Des sources lumineuses ponctuelles identiques étant placées dans le plan, et un point O étant choisi, la courbe de Loriga est le lieu des points du plan où ... Il s'agit là du début du texte de mathcurve, mais je n'ai pas la fin car ce site est inaccessible. J'ai demandé à Chat GPT de compléter. Selon lui la courbe de Loriga est le lieu géométrique des points pour lesquels la somme des inverses des carrés des distances aux sources lumineuses est égale à une constante donnée.

  • Merci, je vais essayer...
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Bonjour

    l'équation cartésienne de cette courbe est d'une façon ordonnée par degré décroissant des termes 

    $$(x^2+y^2)^2 -2x(x^2 - 3y^2) + x^2 + y^2 - 1 = 0$$

    les points de la courbe situés sur l'axe des x ont pour abscisses les solutions de
    $x^4 - 2x^3 + x^2 - 1 = (x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$
    soient le nombre d'or  $k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et - 1/k racines du premier trinôme du second degré

    les points d'intersection sur l'axe des y ont pour ordonnées les racines réelles du trinôme $y^4 + y^2  - 1 = 0$
    telles que $y^2 = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ soient $\frac{1}{\sqrt{k}}$ et $- \frac{1}{\sqrt{k}}$

    je signale deux erreurs sur le graphe de cette magnifique courbe :
    les deux ordonnées à l'origine sont en fait + ou - $\frac{1}{\sqrt{k}}$
    l'abscisse négative à l'origine est en fait - 1/k = $- \frac{2}{1+\sqrt{5}}$ 

    à propos de cette courbe les sportifs lanceurs parleront de leur objet avec le terme affreux de "boomerang" 
    alors que les matheux évoqueront une fleur de montagne avec cette belle expression de "Quartique de Loriga"
    qui a dit que les chercheurs n'avaient pas l'esprit poétique ?

    Cordialement
  • Elle est étudiée dans le Tome III du Teixeira, le seul qui me manque..
  • La propriété géométrique relative à une somme de carrés est la suivante : cette quartique de Loriga est le lieu des points $M$ inverse par rapport au cercle trigonométrique de $M'$ tels que : 
    $$\frac{1}{AM'^2}+\frac{1}{BM'^2}+\frac{1}{CM'^2}=3$$ $ABC$ étant equilatéral inscrit dans le cercle trigo avec $A(-1,0).$

    On pourrait peut-être en tirer une méthode pour la construire.

  • Je voudrais faire tourner un point sur cette courbe. On peut toujours faire tourner une demi-droite d'origine $O$ autour de ce point et prendre son intersection avec la courbe. Mais avec un seul paramétrage ?
  • Ludwig
    Modifié (27 Jun)
    Dans ce fichier (page 31) il est indiqué sans plus de précisions que la quartique de Loriga a été étudiée lors des inondations de 1910. De quoi s'agit-il exactement ? On peut penser à la forme que prend une flaque d'eau lorsqu'elle s'étend sur un certain solide, mais lequel ?
  • Bonsoir

    Les inondations de 1910 ont affecté principalement Paris
    traversée par la Seine dont les eaux étaient alors gonflées par celles de la Marne

    Loriga est une petite ville du Portugal nord,
    non loin du fleuve Douro qui se jette dans l'Atlantique à Porto

    c'est difficile dans ces conditions de faire le rapport
    entre la Quartique de Loriga et les inondations de 1910...

    Cordialement
  • Juan Jacobo Duran Loriga (1854 - 1911) : mathématicien espagnol.
    Source : mathcurve

  • Bonjour

    merci de l'information ;
    les mathématiciens espagnols célèbres ne sont pas très nombreux donc heureux de le connaître !

    Cordialement
  • Je n'ai pas trouvé de paramétrage pour la quartique de Loriga dans sa totalité. Mais j'en ai un qui la donne presque : $$\rho=\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}\cos(3\theta)}}.$$

    Loriga à droite, presque Loriga à gauche. Comme apparemment la courbe est liée aux inondations nous n'avons pas le temps, il faut agir, vite ! On va donc dire que ce sont les mêmes.
  • Pour affiner cette approximation - voire obtenir une formule exacte -, il faudrait trouver une fonction dont la représentation graphique approche celle ci-dessous. Une somme de fonctions sinusoïdales. Y a-t-il un programme qui permet cela ?

    Période 2𝜋/3, s'annule en 𝑘𝜋/3.
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