Parabole(s) et foyer(s).

Bonjour à tous,
Comme chacun sait, une parabole peut être définie par l'intersection d'un cône droit de révolution et d'un plan parallèle à une de ses génératrices. Son foyer n'a à priori rien de particulier.
On projette orthogonalement cette parabole sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône.
On obtient une nouvelle parabole dont le foyer est l'intersection de l'axe du cône et du plan.
Analytiquement, ce dernier point ne pose pas de problème. Mais ce résultat est si particulier que j'imagine qu'il existe une démonstration très simple sans calculs, Je n'ai pas su mettre le doigt dessus.
Une figure épure où la parabole projetée est représentée en rouge ainsi que son foyer $f$ (sur l'axe du cône) :

Moi aussi, j'exhume, en particulier des fils initiés par notre ami @Soland .
Voici l'origine de mes interrogations : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1319156/intersection-3d

Réponses

  • Je constate que mon minuscule problème n'intéresse pas grand monde; je le comprends. La troisième dimension serait-elle si difficile à appréhender ?
    Je me contenterai donc de mes misérables calculs cartésiens (qui me laissent un peu sur ma faim).
    Amicalement.
  • Bonsoir @cailloux,
    Ta question m'intéresse, merci !
    Je trouve épatant que le foyer se trouve où tu l'as annoncé, mais ne sais pas le démontrer comme tu voudrais (et moi aussi : sans trop de calcul).
    Amicalement,
    Swingmustard
  • Bonne nuit @Swingmustard,
    Et grand merci pour ton commentaire !
    Je commençais à me poser des questions :
    - Suis-je à l'ouest ? (ce minuscule problème est-il si "évident" qu'il ne mérite pas de réponse ?)
    - Ma figure, qui est en fait une épure de géométrie descriptive, est-elle incompréhensible ? Je n'ai pas trouvé mieux pour visualiser ma question et j'ose penser qu'avec un minimum d'efforts, elle remplit sa mission.
    Si on a le courage de décortiquer le lien initié par @Soland (voir plus haut) je persiste à croire que cette question est essentielle.
    Encore une fois : merci @Swingmustard pour ton retour.
    Aùmicalement.

  • Swingmustard
    Modifié (15 Jun)
    Je n'y arrive pas pour tout "plan perpendiculaire à l'axe du cône", alors que visiblement, ça reste vrai.
    En attendant, prenons celui tangent à la sphère de Dandelin de la parabole initiale.
    Soit $M$ l'intersection, avec le plan de coupe, du segment d'extrémités les points communs des deux paraboles.
    Bien jolie, l'égalité apparente $MF=MF'$ ... sauf que je ne l'ai pas démontrée du tout.
    J'en ai profité pour montrer que les directrices $D$ et $D'$ n'en font qu'à leur tête : elles ne m'ont pas fait avancer.
    Et méfiance : la parabole projetée me semble dandeliner dans un autre cône que celui de départ, bref ma contribution sent la mauvaise piste.
    Amicalement,
    Swingmustard
    P.S. Messages qui se sont croisés. On est au moins deux à s'intéresser à cette affaire !
  • Swingmustard
    Modifié (16 Jun)
    Ah, peut-être une conjecture utile : il semble que les tangentes (à la parabole projetée) en les points communs se coupent en un $T'$ appartenant au cône !
               
    Soland nous manque. Et je n'ai pas encore lu, hélas, ce qu'il a dit sur ce sujet.
    Amicalement,
    Swingmustard.
    P.S. C'est Byzance : deuxième conjecture. $TT'\perp F'S'$ ?
    P.P.S. Fausse alerte. Les harpons chers à @pappus font de $SS'$ une droite des milieux dans $MTT'$, donc $TT'\perp F'S'$ de manière assez banale.
    Par ailleurs parabole $\Rightarrow$ son plan est parallèle à la génératrice, donc $MST'$ est isocèle, et $T'$ est un point du cône.
    Ce détour n'apporte rien, même si j'y ai pas mal cru : au lieu de $S'$ milieu de $MT'$, c'est $S'$ milieu de $F'D'$ qui nous intéresse. Et encore, $D'$ est peut-être aussi inutile que $T'$...
    Tu as raison @cailloux, il faut dormir !
  • A cette heure là, je suis trop fatigué pour apprécier ta réponse.
    Mais tout de même, devant ta bonne volonté (je parle de 1h28) :
    Les projections orthogonales  de la parabole section du cône par un plan parallèle à une de ses génératrices sur les plans perpendiculaires à l'axe du cône sont identiques (imaginer un "cylindre" dont la courbe directrice est la projection de notre parabole). Si tu démontres une propriété pour l'une, tu la démontre pour toutes.
    Bonne nuit.
    Amicalement.
  • plsryef
    Modifié (16 Jun)
    Bonjour, en partant d’une parabole de sommet P contenue dans le cône bleu, qui au milieu de $[O’P_1]$, alors la parabole projetée coupe le cercle de base de diamètre $[B_1B_2]$ en deux points de ce même cercle, (dans le plan qui contient cette base ce sont les deux petits points rouges sur la figure jointe), et le sommet projetée de la parabole rouge est le gros point rouge. La directrice de la parabole projetée supporte un des côtés du carré et contient le projeté de $B_1$ dans le plan. Et dans ce plan le foyer de la parabole projeté est le centre du cercle ou du carré, qui est aussi la projection du sommet du cône. J'ai rajouté en vert une rotation de la parabole rouge de $\pi/4$ en vue de face donc sur le schéma joint. Bien sur ce qui fit tout fonctionner c'est l'invariance du cône par homothétie, il ne reste qu'à projeter à la bonne hauteur et dire que l'agrandissement d'une conique est encore une conique et que la projection orthogonale d'une conique  sur un plan selon une direction correcte ne change pas la nature de la conique (pas là je ne l'ai pas été avec cette réponse ci).



  • Bonjour @plsryef,
    1) Parmi tous les plans de projection possibles, ton choix de celui qui passe par l'intersection ($c$ de ton dessin) entre le plan de la parabole initiale et l'axe du cône est certainement le meilleur !

    2) Hélas, je suis un peu bouché et il faut me mettre les points sur les i. J'appelle $T$ le point d'intersection des tangentes issues des points d'intersection des deux paraboles. Quand, ci-dessus, j'écris $T'=D'$, j'ai envie d'y croire MAIS uniquement parce que geogebra met $D'$ à cet endroit, donc ça ne me le démontre pas. (C'est moi qui ai demandé à geogebra d'appeler $D'$ la polaire de $F'$, donc je triche.) Peux-tu entrer dans les détails ?
    Actuellement, pour moi, cet exemple (merveilleusement choisi, bravo) donne une chouette CNS "$F'$ sur l'axe" $\Leftrightarrow$" $D'$ sur le cône" (i.e. ton "La directrice de la parabole projetée supporte un des côtés du carré et contient le projeté de $B_1$ dans le plan").
    Démontrer l'un sera démontrer l'autre. Or j'ai provisoirement renoncé à invoquer la directrice (apparemment à tort) car ça me paraît aussi difficile que d'essayer "directement" (ha ha) par le foyer.
    3) Peux-tu détailler la transformation qui permet de passer de la projetée rouge à la projetée bleue ? Une homothétie de centre le foyer ?
    Amicalement,
    Swingmustard
  • plsryef
    Modifié (22 Jun)
    Des que je fixe un sommet et un pente sur le cône, pour visualiser je découpe le cône en une famille de paraboles toutes homothétiques les unies des autres, sauf celle qui dégénère en une droite, ce qui sauve tout c'est que le cône est globalement invariant par toutes les homothéties de centre le sommet du cône. J'utilise l'homothétie de centre le sommet du cône qui transforme $P$ en $B_1$, ça me surprend un peu car je pense que tu maîtrises les idées projectives mieux que moi, l'idée de  c'est de choisir la bonne hauteur pour projeter, dans le plan de projection qui est à la bonne hauteur j'utilise l'homothétie de centre le foyer de la parabole où tout marche bien, et je transforme la parabole simple avec le rapport qui passe d'un sommet fixé à un autre sommet, d'une certaine façon tout se "relève", je sais aussi que il faut contrôler la signature de la forme quadratique restreinte à un plan vectoriel ou affine selon le choix, bref, les opérations "homothétie" et projection orthogonale sur un plan orthogonal à l'axe "commutent".
    Je me suis posé d'autre question: un cône oblique à base elliptique contient-il un cercle , ou plus généralement n'importe qu'elle ellipse dont l'excentricité est prescrite, et je crois que oui,
  • john_john
    Modifié (16 Jun)
    Bonjour,
    je suis moi aussi intéressé par la question, mais je n'ai pas encore pris connaissance des avancées à partir de la première contribution de Swingmustard.
    En revanche, il me semble que l'origine est toujours  un foyer de la projection de la conique sur un plan perpendiculaire à l'axe, même dans le cas où le plan sécant n'est pas parallèle  à une génératrice et que, de ce fait, l'intersection n'est pas une parabole. Je pense que je pourrai en chercher une preuve géométrique cet après-midi.

    Toutefois, par le calcul, cela tient en une ligne : si le plan sécant, non vertical, a une équation de la forme $Z=pX+qY+r$, il coupe le cône d'équation $Z^2=a^2(X^2+Y^2)$ selon une conique $(C)$ ; on en obtient la projection sur $V(Z=0)$ en éliminant $Z$ entre les deux équations supra, c'est-à-dire $X^2+Y^2=(pX+qY+c)^2/a^2$,  et cela confirme que l'origine est un foyer ; à noter que les projections sur les plans horizontaux sont isométriques.
  • cailloux
    Modifié (16 Jun)
    Bonjour à tous et merci pour l'intérêt que vous portez à cette question.
    Je dois bien avouer que je n'ai pas tout compris dans la démarche de @plsryef .
    Une nouvelle épure pour tenter de clarifier la situation :

    On peut y voir la parabole intersection en violet rabattue dans le plan horizontal autour de la charnière $\alpha P$ et son foyer $F$ relevé en $F'$ sur la projection frontale.
    Lorsque le plan $P\alpha Q'$ varie (en restant parallèle au plan de départ), le foyer $F'$ décrit une droite qui passe par le sommet du cône.
    Amicalement.
    [Edit] Je ne m'attendais pas à cette généralisation de @john_john. Côté calculs (très simples), j'avais fait à peu près les mêmes avec des plans parallèles à une génératrice.


  • Pour simplifier les calculs, j'écris l'équation du cône $(\cal C)$ sous la forme inhabituelle $X^2+Y^2+Z^2=Z^2/\cos^2\alpha$ ; le point $M$ est un point courant de l'intersection et l'on a $z_M=mM$, mais aussi $mM=d\cdot{\rm tg}\beta$.
    De tout cela, on tire $Om=d\cdot{\rm tg}\alpha\,{\rm tg}\beta$ : la projection de la conique est la conique de foyer $O$ et de directrice la trace du plan $\cal P$ sur le plan $Oxy$. La conique est une parabole ssi $\alpha+\beta=\pi/2$, c'est-à-dire ssi le plan $\cal P$  est parallèle à une génératrice du cône.
    L'intersection elle-même du plan et du cône est de même genre.
  • cailloux
    Modifié (19 Jun)
    Bonsoir @john_john ,
    Et grand merci pour ton message que j'ai eu du mal à comprendre d'où mon retard (surtout ton dessin où il me semble que $M$ et $m$ jouent à "double emploi").
    Je me permets de le refaire à la sauce descriptive (dans le cas d'une ellipse) :

    Merci encore pour cette belle démonstration !
    Amicalement.
  • Bonjour, cailloux,
    ah, la descro, toute une époque !
  • Quel est le principe général de la descro ?
  • cailloux
    Modifié (20 Jun)
    Bonjour @gai requin ,
    La descriptive : une figure de l'espace est projetée orthogonalement sur deux plans perpendiculaires (l'Horizontal et le Frontal) qui se coupent suivant une droite $(XY)$ nommée "ligne de terre". On fait tourner le Frontal d'un quart de tour autour de la ligne de terre pour obtenir une figure plane : l'"épure".
    Sur l'épure, un point est déterminé par ses deux projections sur une même ligne de rappel : $A\simeq (a,a')$
    Une droite est déterminée par deux droites : $(AB)\simeq (\delta,\delta')$
    Un plan est déterminé par 4 droites sécantes deux à deux sur une même ligne de rappel.
    Une figure (où l'épure est à droite) est peut-être plus parlante :

    Ni plus ni moins de la "géométrie projective" avant la lettre. J'ai à ce sujet un exercice (très simple mais édifiant, merci @pappus ).
    Si tu es intéressé ...
    Amicalement.
  • Avec, à la clef, de jolies épures (intersection d'un paraboloïde de révolution et d'un cône) ; il ne manque que la couleur : 




  • ... où on peut voir, comme cela se faisait, une tangente à la courbe intersection au point courant $(m,m')$ en $(m\theta,m'\theta')$ :)
  • Ah, tu as raison ; je n'avais pas vu la tangente. A une époque encore plus révolue, on demandait aussi d'ombrer l'épure !


  • Je pense que la construction de cailloux est claire pour tout le monde : on se sert d'objets auxiliaires pour obtenir les deux projections de l'intersection. Dans le frontal, c'est un segment (en rouge) et l'on balaie tout ce petit monde par des plans horizontaux, coupant l'axe du cône en un point $M$ décrivant un segment $[M_{inf},M_{sup}]$ ; à chacun de ces points correspondent $M'_1$ et $M'_2$ dans l'horizontal. La fonction lieu de Cabri/Géogébra permet un dessin impeccable de l'ellipse rouge qui, jadis, devait être tracée à main levée grâce à suffisamment de points.

    En outre, le principe nous oblige souvent à considérer seulement des parties d'objets géométriques, ce qui explique que l'ellipse de cailloux soit incomplète : il n'y a en fait qu'un tronc de cône.
  • cailloux
    Modifié (22 Jun)
    Bonne nuit,
    john_john a dit :
    il ne manque que la couleur :

    GeoGebra est à la limite de ses forces : il manque la "ponctuation" (parties vues et parties cachées) et la tangente au point courant. Je ne pouvais pratiquement plus toucher à l'épure sous peine de catastrophe ...

    [Edit] Modifié l'épure pour faire apparaître la tangente au point courant. Quelques commentaires qui suivent deviennent obsolètes en particulier le nombre de points d'intersection cercle/ellipse passé à 4).
  • Bonjour, cailloux,
    Splendide ! C'est sans doute issu d'une épreuve de trois ou quatre heures et le temps gagné avec Géogébra nous en fait excuser les lacunes. Lacunes inhérentes, je pense, à tout logiciel de ce type, puisque la notion de sous-arc n'a pas vraiment de sens pour un lieu complexe (entre les extrémités prescrites, il peut y avoir une branche infinie, ou un points multiple ; quant au sens de parcours...)

    Je pense que la seule échappatoire est de tricher, en déplaçant le point $\omega'$ à la main et en notant les endroits où l'arc apparaît ou disparaît ; on lui fait alors décrire le lieu en plusieurs tronçons, hachurés ou non.

    Ci-dessous, je t'indique comme Géogébra représente un lieu complexe : point par point (et encore, je n'ai copié/collé qu'un centième d'icelui).

    Amicalement, john_john.


    \draw[line width=2.8pt,color=ffqqqq] (7.591180294749863,-1.569413296521632)(5.509400727339451,-5.450221707078569) -- (5.509400673642707,-5.45022156481641) -- (5.509400566249259,-5.450221280292054) -- (5.509400351462353,-5.45022071124353) -- (5.509399921888793,-5.450219573147062) -- (5.509399062742465,-5.450217296956396) -- (5.509397344452791,-5.450212744583846) -- (5.509393907885198,-5.4502036398738065) -- (5.5093870347974665,-5.450185430594599) -- (5.509373288811617,-5.450149012599274) -- (5.50934579759851,-5.450076178861027) -- (5.509290818206236,-5.44993052039327) -- (5.509180871556194,-5.449639239487412) -- (5.508961026778686,-5.44905682174807) -- (5.508521531197243,-5.447892562194322) -- (5.507643314991863,-5.445566343870905) -- (5.505889974937143,-5.4409230870954515) -- (5.5023956047740565,-5.431673107888775) -- (5.495455633376626,-5.413317821185584) -- (5.4817670772084295,-5.377174451378294) -- (5.455127190594742,-5.30706837108106) -- (5.429419453837437,-5.2397116565783906
  • cailloux
    Modifié (21 Jun)
    Bonjour john_john,
    Les difficultés sont multiples avec GeoGebra. Pour commencer, si on veut que la courbe "ressemble" à celle de ton épure, il faut que le cône (sommet et ellipse directrice) et le paraboloïde soient modifiables via des paramètres qu'on peut ajuster en cours de route.
    Le principe de cette épure est d'utiliser un cône auxiliaire de même sommet $s,s'$ qui s'appuie sur le cercle intersection plan (piloté par $\omega'$, tu l'as bien vu) /paraboloïde donc d'axe $(s\omega,s'\omega') $ et dont la trace sur le plan horizontal de projection est aussi un cercle (celui de centre $o$ qui passe par $r$). Pour récupérer les génératrices communes des deux cônes, on passe par les intersections cercle variable précédent/ellipse. Suivant les circonstances, 0,1,2,3 ou 4 points d'intersection et donc 0,1,2,3 ou 4 génératrices communes.
    Sut ton épure, il y a 4 points d'intersection $f,g,h,i$. Sur la mienne il n'y en a que 2 (vu la position du plan) mais je n'ai fait figurer que la construction à partir de $(g,g')$
    Pour ces intersections, GeoGebra m'a joué de nombreux tours (le logiciel les gère très mal, certaines disparaissaient et il fallait les recréer dans certaines positions du plan) : pour un oui, pour un non, il y avait en conséquence des "trous" dans les lieux (une dizaine de lieux !) à tel point que je ne pouvais plus modifier la figure sous peine de catastrophe ...
    Pire, la figure est complexe (de nombreux éléments sont "cachés"). Et il arrive un moment où les commandes GeoGebra ne marchent plus très bien; un exemple : la commande Afficher/Cacher un objet mets une quinzaine de secondes à réagir et il faut le même temps pour la quitter. Ça devient infernal ...
    Bref il arrive un moment où on ne peut plus modifier la figure.
    Je ne boude pas mon plaisir : je me suis bien amusé (sauf quand des bouts de lieux disparaissaient).
    GeoGebra reste néanmoins un formidable outil !
    Amicalement.
    P.S. Petite colle pour ceux qui suivent ce fil (pas pour toi John_John) : sur l'épure originale, comment est construite la tangente à la courbe $(m\theta,m'\theta')$ au point courant $m,m'$ ?
  • gai requin
    Modifié (21 Jun)
    Merci @cailloux !
    Et bien regardons si ton exo très simple et édifiant me parle 🤔
  • Bonsoir @gai requin  et merci pour ton retour.
    Notre ami @pappus m'a accompagné à de nombreuses reprises et fait progresser sur des fils de géométrie.
    Je connais un petit peu la géométrie descriptive et il m'a fait un jour découvrir cet exercice qui m'avait à l'époque surpris :
    D'abord une définition qui se réfère à ma figure du 20 juin :
    On appelle second bissecteur le plan bissecteur des dièdres 2 et 4

    Je  te laisse deviner quel est le premier ...
    1) Un point appartient au second bissecteur. Caractériser ses deux projections (des points) sur l'épure.
    2) Une droite appartient au second bissecteur. Caractériser ses deux projections (des droites) sur l'épure.
    3) Trois points de l'espace $A,B,C$ non alignés définissent un plan. Voici une épure des 3 points correspondant à cette situation :

    Construire sur l'épure , les 3 intersections $\alpha,\alpha'$, $\beta,\beta'$ et $\gamma,\gamma'$ des trois droites $(bc,b'c')$, $(ca,c'a')$ et $(ab,a'b')$ avec le second bissecteur.
    4) Mettre tout ça dans le même sac pour redécouvrir un célèbre théorème.

    Dans le même ordre d'idée mais en plus difficile, @pldx1 m'a fait découvrir (je m'appelais @Lake à l'époque) quelque chose que je n'aurais jamais soupçonné ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1920774#Comment_1920774
    Amicalement.

  • cailloux
    Modifié (24 Jun)
    Bonjour,
    En attendant @gai requin , une remarque sur l'épure proposée par @john_john intitulée "intersection d'un paraboloïde de révolution et d'un cône".
    Ma première réaction a été : pas trop difficile : on coupe le paraboloïde par un plan horizontal et on "remonte" l'ellipse au niveau du plan par l'homothétie de centre $s$ et de rapport $\dfrac{s'A}{s'B}$. On obtient immédiatement les projections horizontales de points courants de la courbe par une intersection cercle/ellipse :

    Mais ça n'est réalisable qu'avec nos moyens actuels par exemple GeoGebra ici.
    A l'époque du sujet, on était obligé d'obtenir la courbe points par points et de multiplier les plans horizontaux donc les ellipses homothétiques de celle de base. Les construire (points par points elles aussi !) ainsi que leurs intersections avec les cercles était impraticable.
    La solution proposée par l'épure de @john_john (que je n'ai pas comprise immédiatement) avec un cône auxiliaire qui permet de n'avoir que des intersections de cercles avec une unique ellipse (probablement donnée dans l'énoncé) n'est pas un hasard.
  • Bonjour,
    si j'arrive à retrouver l'origine de cette épure, j'aurai peut-être des explications quant à la méthode en ayant permis la construction. Par parenthèse, Boris Asancheyev a publié chez Ellipses des annales de l'épreuve de descro de l'ENS (tracés effectués semble-t-il par ordinateur).
  • cailloux
    Modifié (24 Jun)
    Bonsoir @john_john ,
    Quant à la méthode employée dans ton épure, je pense qu'il n'y a plus de mystère :
    Un cône auxiliaire de sommet $S\simeq s,s'$ qui s'appuie sur le cercle de diamètre $PQ\simeq (pq,p'q')$ (section du paraboloïde par un plan horizontal variable) de section horizontale circulaire en particulier par le plan horizontal de projection. Les intersections de ce cercle dans le plan horizontal de projection et de l'ellipse directrice donnée permettent de construire les génératrices communes aux deux cônes et de finalement déterminer les points courants de la courbe intersection, intersections de ces génératrices avec le plan horizontal initial.
    Je possède ce livre de Boris Asancheyev. Des annales de concours d'entrée à l'ENS de 1865 à 1959.
    Des sujets très (voire extrêmement) difficiles ENS oblige ...
    Un bouquin qui a un intérêt historique incontestable mais certainement pas pédagogique pour qui veut avoir quelques lumières sur la descriptive : le sujet page de gauche, l'épure correspondante page de droite sans aucune explication ("notice").
    Un exemple avec le sujet de 1942 et son épure (qui laissent rêveur quand on pense aux tires-lignes, à l'encre de chine ... où le moindre pâté pouvait vous coûter le concours) :


    Ça ne rigole plus !

  • Bonjour @cailloux,
    Je regarde ton exo dès que j'ai fini de corriger mes copies de bac :'(
  • cailloux
    Modifié (25 Jun)
    Ah ! @gai requin , bonjour,
    Quand on est retraité comme moi, on a tendance à oublier les contraintes de l'humanité souffrante.
    En parlant de souffrance, je n'ose même pas imaginer ce que représente les corrections de copies de bac ...
    Très sincèrement, je compatis.
    J'avais failli écrire "En attendant Godot  @gai requin  " mais j'avais jugé ça un peu trop cavalier.
    Il n'y a évidemment aucune urgence. :)
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