Oral MP* Ulm 2024

Il s'agit évidemment de l'application définie par le passage aux classes, coefficient par coefficient.

Quelques remarques:
1°) Soit $A$ un anneau commutatif, $n\in \N$, $M\in SL_n(A)$, $v = (v_1,...,v_n)$ un vecteur ligne (ou colonne) de $M$. Alors l'idéal engendré par $v$ dans $A$ est $A$ lui-même (puisque $1=det(M)$ appartient à cet idéal).

On propose une solution de l'exo un peu usine à gaz (mais je pense que les éléments rédigés à la va vite sont en fait des algorithmes assez simples à comprendre; dites moi s'il y a un doute qui subsiste).
2°) Soit $n\in \N$. On considèrera dans la suite de ce message, pour tout $i,j\in \{1,...,n\}$ distincts, les deux opérations suivantes:
Pour toute suite d'entiers naturels $X:=(x_1,...,x_n)$ on pose:
$\sigma_{i,j}(X):= (x_1,...,x_{j-1},x_j - x_i, x_{j+1}, ...x_n)$
$\tau_{i,j} (X):= (x_1,...x_j, ... x_i, ... x_n)$ (échange du $j$-ième et du $i$-ième terme de la liste).

3°) Soit $Y=(y_1,...,y_n)$ une suite d'entiers non nuls; soit $i$ le plus petit indice tel que $y_i = \max \{y_1,...,y_n\}$, et $j$ le plus petit indice tel que $y_j = y_i$ et $i<j$ s'il existe un autre $k$ tel que $y_k = y_i$; sinon, on prend pour $j$ le plus petit $\ell$ tel que $y_{\ell}$ soit maximal parmi les $y_j$ où $j\in \{1,...,n\} \backslash \{i\}$.

On pose alors $Y':= \sigma_{i,j} (Y)$. Les idéaux engendrés par $Y$ et $Y'$ dans $\Z$ sont les mêmes. Etant donné $X\in \N^n$ soit $X_0:= X$ et $X_{m+1}:= X'_m$. Alors la suite $(X_m)_{m\geq 0}$ stationne (le nombre de termes maximaux de la suite diminue, ou bien ledit terme maximal diminue lorsqu'il est seul et qu'il y a un autre terme non nul) en un vecteur $\hat X$ qui contient une seule coordonnée non nulle et cette coordonnée engendre l'idéal engendré par celles de $X_0$ (ou de $X_m$ pour n'importe quel $m\in \N$).

4°) Pour tout $A\in M_n(\N)$ et tout $i\in \{1,...,n\} $il existe une matrice $L^i (A)$ (resp. $R^{i}_A$) $\in SL_n(Z)$ telle que si $V$ est la $i$-ième ligne (resp. colonne) de $A$ alors la $i$-ième ligne (resp colonne) de $A$ est $\hat V$ (utiliser 2°, 3° et des matrices d'opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes).

6°) Modulo $N$, une matrice $A=(A_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in SLn(\Z/N\Z)$ telle que $A_{i,j} = 0$ pour tous $(i,j)$ tels que $i=1$ et $j\geq 2$ ou vice-versa(*) (les résultats précédents entraînent qu'on peut se ramener à ce cas pour résoudre l'exo) sont des produits d'une matrice diagonale par blocs $B$ telle que $B_{1,1} = 1$ et $B$ satisfait (*); et de $diag (A_{1,1},A^{-1}_{1,1}, 1,1,...,1)$. Ainsi, on peut montrer le résultat souhaité par récurrence sur la dimension, il ne suffit plus que de traiter le cas où $n=2$ et $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}$ et $a,b\in \Z$ sont tels que $ab=1 \mod N$.
 
7°) Soit $a,b\in \Z$ inverses l'un de l'autre dans $M_n(Z/nZ)$ et $c$ entier tel que $ab = 1+cN$. Alors $c = bk$ dans $\Z/nZ$ où $k:= Ca$ dans $\Z/n\Z$. Ainsi, $F:= \begin{pmatrix} a & c \\ N & b\end{pmatrix}$ et $G:= \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ sont des éléments de $SL_2(\Z)$ tels que $FG = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}$ modulo $N$ ce qui fournit le résultat qui nous manquait au 6°).