Forme bilinéaire

topopot
topopot
dans Algèbre
Salut,

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel.

Dans un cours, il est dit que :
  1. Pour tout $(f,g)\in \left(E^*\right)^2$, l'application $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ est une forme bilinéaire sur $E$.
  2. Toute combinaison linéaire d'applications du type (1.) précédent est une forme bilinéaire sur $E$. 
  3. Toute forme bilinéaire sur $E$ est combinaison linéaire d'applications de type (1.).
Je suis d'accord avec 1. (trivial) et 2. (car l'ensemble des formes bilinéaires est un espace vectoriel), mais 3. ne me semble pas direct. En se donnant $b$ une forme bilinéaire sur $E$, j'imagine qu'il faut utiliser les formes linéaires $b(x,\bullet):=[y\mapsto b(x,y)]$ et $b(\bullet,y):=[x\mapsto b(x,y)]$ mais je ne vois pas comment, surtout que si on les multiplie, ça donne n'importe quoi.

En particulier, j'ai l'impression qu'il faut supposer $E$ de dimension finie car dans ce cas je pense avoir un truc qui marche.

Réponses

  • stfj
    stfj
    Bonjour,
    En dimension 2, sur $\R$, $F((x,y),(x',y'))=axx'+...$ Or, $f:(x,y)\mapsto x$ est une forme linéaire sur $\R^2$ par exemple.
    En dimension infinie, cela ne m'a jamais servi et je n'en sais rien.
    Cordialement, Stéphane

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Modifié (June 2024)
    Le produit scalaire canonique du plan euclidien réel est une forme bilinéaire qui n'est pas le produit d'une forme linéaire fonction de l'abscisse par une forme linéaire fonction de l'ordonnée, par contre ce résultat est faux si le corps considéré est $\mathbb{C}$ (remarque $\mathbb{C}$ est algébriquement clos)
  • dSP
    dSP

    En particulier, j'ai l'impression qu'il faut supposer $E$ de dimension finie car dans ce cas je pense avoir un truc qui marche.

    C'est effectivement faux en dimension infinie. Par curryfication, $B \mapsto [x \mapsto B(x,-)]$ définit un isomorphisme de l'espace des formes bilinéaires sur $E$ sur l'espace $\mathcal{L}(E,E^\star)$ des applications linéaires de $E$ vers son dual. Cet isomorphisme met en correspondance les applications considérées dans le point 1 avec les applications linéaires de rang $0$ ou $1$. Enfin, dans un espace d'applications linéaires, le sous-espace vectoriel engendré par les opérateurs de rang au plus $1$ est le sous-espace des opérateurs de rang fini.

    En conséquence, un contre-exemple est donné en prenant une application linéaire $u : E \rightarrow E^\star$ qui n'est pas de rang fini (par exemple : on prend une base et on définit $f$ comme l'unique application linéaire attribuant à chaque vecteur de la base l'élément correspondant de la base duale) et on pose $B : (x,y) \mapsto u(x)[y]$.
  • topopot
    topopot
    Merci @dSP, je vais essayer d'écrire les détails et reviendrai si je bloque.

    Sinon pour le coup de la dimension finie : on prend une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et on considère sa base duale $(e_1^*,\dots,e_n^*)$. Soit $b$ une forme bilinéaire sur $E$. Pour tous $x:=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ et $y:=\sum\limits_{i=1}^n y_i e_i$ dans $E$, on a $b(x,y)=\underset{1\leqslant i,j\leqslant n}\sum x_i y_j b(e_i,e_j)$ par bilinéarité. Or $x_i=e_i^*(x)$ et $y_j=e_j^*(y)$ d'où en notant $\alpha_{i,j}:=b(e_i,e_j)\in\mathbb K$, on obtient : $b(x,y)=\underset{1\leqslant i,j\leqslant n}\sum \alpha_{i,j}e_i^*(x)e_j^*(y)$ donc $b$ est bien combinaison linéaire d'applications du type voulu.
  • Math Coss
    Math Coss
    Encore un message grossièrement faux de la part d'@AlainLyon.
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