Une matrice semi-définie positive

tetsu
tetsu
dans Algèbre
Bonsoir,

j'ai une matrice symétrique réelle semi-définie positive $A$, et une matrice réelle $M$ de norme d'opérateur $1$.

Je veux montrer que $A - MA$ est encore semi-définie positive. Mais je ne suis pas sûr que ce soit vrai.

Quelqu'un aurait une idée ? Merci d'avance !

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    La matrice $A-MA$ n’a aucune raison d’être symétrique.
  • tetsu
    tetsu
    Oui en effet, je me demande plutôt si la forme quadratique associée est semi-définie positive.
    Je devrais plutôt dire : est-ce que  $A - \frac{1}{2}(MA + AM^T)$ est semi-définie positive ?

    Ça revient à prouver que $u^T (A - MA) u \geq 0$ pour tout vecteur réel $u$.
  • marco
    marco
    Si $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, alors $A-MA= \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
    Si $u=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, alors $u^T(A-AM)u=-2+1=-1<0$
  • tetsu
    tetsu
    Merci pour cet exemple @marco, ça m'aide beaucoup !
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