Endomorphisme cyclique et SEP

Bonjour.

Je travaille sur la caractérisation $f$ cyclique $\Leftrightarrow$ les S.E.P de $f$ sont de dimension 1.

Je pense savoir comment faire le sens direct en écrivant un vecteur propre $v$ de $f$ comme un polynôme en $f$ appliqué à $x$ vecteur cyclique pour $f$ puis en utilisant que le degré de $\mu_f$ est $n$.

Par contre je bloque sur la réciproque.

J'ai essayé 
1/ de construire un vecteur cyclique comme somme des vecteurs propres de $f$ mais c'est trop violent (cela fonctionne s'il y a $dim(E)=n$ valeurs propres distinctes, on a un Vandermonde inversible, ou un polynôme de degré $n-1$ avec $n$ racines distinctes ).
2/ J'ai cherché un lien avec la caractérisation $\mu_f=\chi_f$: sans succès.
3/ J'ai cherché à réduire la matrice de $f$ sous  la forme d'une matrice compagnon: sans succès

Quelqu'un a un coup de pouce sur cet exercice? Merci.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (12 Jun)
    Attention : cette caractérisation est vraie pour un endomorphisme supposé diagonalisable.

    Pour une solution avec un minimum de connaissance, tu peux regarder la partie 3 de l’exercice 1 de : 
    https://www.concours-commun-inp.fr/_resource/annales écrits/PC/2023/PC1M.pdf?download=true
  • @Mrj Tu es sûr de cela ? 
    Le poly que j'ai sur les matrices compagnons ne le mentionne pas.

    La solution que tu mentionnes je l'ai déjà c'est mon essai numéro 1

  • raoul.S
    Modifié (13 Jun)
    Pour la réciproque j'ai une solution mais il y a peut-être plus simple : 

    Je ne détaille pas tout : 
    1) On commence par montrer que si le polynôme caractéristique de $f$ est de la forme $(X-\lambda)^n$ et que l'espace propre est de dim 1, alors $\min_f(X)=(X-\lambda)^n$, donc $f$ est cyclique (où $\min_f$ le poly minimal). Pour cela on peut supposer, sans perte de généralité, que $f$ est triangulaire supérieure (je suppose que le corps est algébriquement clos).

    2) Pour le cas général où le poly caractéristique est donné par $(X-\lambda_1)^{n_1}\cdot...\cdot (X-\lambda_r)^{n_r}$, avec les $\lambda_i$ distincts deux à deux : pour tout $i=1..r$, on pose $E_i:=\ker(f-\lambda_i)^{n_i}$ et on considère la restriction $f\mid_{E_i}:E_i\to E_i$. On voit que $f\mid_{E_i}$ vérifie 1) et on en déduit que le polynôme minimal, noté $p_i$, de $f\mid_{E_i}$ est égal au poly caractéristique de $f\mid_{E_i}$, donc $p_i=(X-\lambda_i)^{n_i}$. Par conséquent le poly minimal de $f$, qui est égal au produit des $p_i$ (facile à vérifier), est aussi égal au produit des $(X-\lambda_i)^{n_i}$. Donc $f$ est cyclique.
  • Je travaille sur la caractérisation f cyclique ⇔ les S.E.P de f sont de dimension 1.

    Si la réciproque était vraie, cela impliquerait que tout endomorphisme réel sans valeur propre réelle est cyclique.
  • @JLapin je pense qu'il est sous-entendu que le corps de base est algébriquement clos.
  • Merci @raoul.S je vais réfléchir à tes indications dès que je peux prendre le temps.

    @JLapin en effet pour cette caractérisation le corps de base est implicitement C même si je ne l’ai pas précisé.

    Malheureusement je ne suis pas du tout cultivé sur ce sujet qui à trait aux invariants de similitudes qui se traitent en toute généralité sur des A modules. C’est pourquoi dans les cours sur le sujet le corps est rarement précisé au niveau du coeur de la theorie .

    C’est le pourquoi de mon travail à ce sujet qui me semble une bonne porte d’entrée pour approfondir ma compréhension de la réduction des endomorphismes et des liens entre SEP SEC polynôme et endomorphisme.

    Mes difficultés sur la question sont le symptôme de lacunes ou d’oubli sur ces liens que j’entends bien combler.
  • LOU16
    Modifié (28 Jun)
    Bonjour,
    Pour l'implication: $\:\boxed{f \text{ non cyclique }\implies \text{ il existe un sous-espace propre de dimension supérieure à }2.}$

    Si $f$ n'est pas cyclique, alors  $\text{ deg }\mu_f =k<n, \quad \exists a \in E \:\text{ tel que dim}\text{ Vect}\left(a,f(a),... f^{k-1}(a)\right) =k$
    Soit $V=\text{Vect}\left(a,f(a),... f^{k-1}(a)\right).\:\: V\: $est stable par $f$ et admet dans $E$ un supplémentaire $\:W\neq\{0\}\:$ stable par $f.$
    Soit $\lambda$ une valeur propre de $f_{/W}.\:$ Alors $\mu_f(\lambda) =0$ et $\lambda$ est aussi une valeur propre de $f_{/V}.$
    $\exists (b,c) \in V\times W$ tel que $b\neq0,\: c\neq 0, \:\:f(b) =\lambda b, \:f( c) =\lambda c.\quad \text{ dim }\ker(f-\lambda \text{Id})\geqslant 2\:\:\square$
    Je précise une construction d'un supplémentaire $\:W\: $ de $V$ dans $E, \:$ stable par $f$.
     Soit $(e_1,e_2,\dots e_n) $ une base de $E$ telle que $\forall i \in[\![1;k]\!],\:e_i=f^{i-1}(a).\: $ Soit $(e_1^*,e_2^*,\dots e_n^*)$ la base duale.  Alors:
    $$W:=^{\perp}\left(\text{Vect }\{^tf^{i}(e_k^*)\mid i\in \N\}\right) \text{ est tel que } E=V\oplus W  \text{ et est stable par }f.$$

  • J’ai enfin eu le temps de réfléchir à l’indication de @raoult.S 

    C’est la coïncidence de 1) qui me posait problème. Je pense y être arrivé en utilisant le f que le SEP est f stable de dimension 1 donc admet un hyperplan f-stable (dualité) on peut donc faire une recurrence et ensuite on obtient le polynôme minimal comme PPCM des polynômes minimaux.

    @LOU16 merci je vais etudier ta preuve qui est très elegante et qui utilise aussi la dualité mais sans recurrence.


  • JLapin
    Modifié (15 Jun)
    C’est la coïncidence de 1) qui me posait problème.


    Quelle partie précisément de la preuve de RaoulS nécessite selon toi des hyperplans et une récurrence ?

    En fait, son point 1) revient au résultat suivant : 

    Soit $f$ un endomorphisme nilpotent de $E$ tel que $\dim Ker f = 1$. Montrer que $f$ est d'indice $n = \dim E$


    exo que l'on peut traiter par des considérations basiques sur la suite des rangs des itérées.


  • hx1_210
    Modifié (15 Jun)
    @JLapin je n’ai pas parlé de nécessité. C’est toi qui en parle.

    c’est $\mu_f=(X-\lambda)^n$ qui me posait problème. 

    Je veux bien que tu explicites davantage ton indication. (Je crois comprendre à ton ton sarcastique que tu réprouves la récurrence qui serait marteaupiloonnesque ici)

    Pour ma part je comprends ton indication comme suit.

    Il s’agit de montrer que l’indice de $f-\lambda$ est $n$ lorsque $f$ est nilpotent et $dim(ker(f-\lambda)=1$
    J’ai déjà réfléchi à la question (je sais je n’arrange pas mon cas) mais je ne vois pas pourquoi 

    edit: en me relisant je vois.
    les saut de dimension entre noyaux des iterés vont en décroissant or le premier saut est de 1 donc l’indice ne peut être inférieur à $n$

  • JLapin
    Modifié (15 Jun)
    hx1_210 a dit :

    Il s’agit de montrer que l’indice de $f-\lambda$ est $n$ lorsque $f$ est cyclique et $dim(ker(f-\lambda)=1$

    Non, tu ne dois pas supposer que $f$ est cyclique, mais le démontrer.
    Voici quelques questions intermédiaires (je reprends le cas nilpotent pour simplifier, on s'y ramène en soustrayant une homothétie, comme tu l'as bien vu).

    Soit $f$ un endomorphisme nilpotent d'un espace $E$ de dimension $n$. On suppose que le sous-espace propre $Ker f$ est une droite.

    a) Montrer que la suite $$(rg (f^k)-rg(f^{k+1}))_{k\in [0,n]}$$ est décroissante.
    b) En déduire $rg(f^{k}) = n-k$ pour tout $k\in [0,n]$.
    c) En déduire $\pi_f = X^n$ donc $f$ cyclique.

    Et je ne suis pas sarcastique devant ta proposition de récurrence mais simplement, je ne comprends comment tu fais marcher ça (hyperplans et ppcm) pour répondre au point 1) de RaoulS qui est, pour le cas $\lambda=0$, exactement le petit exo détaillé dans ce message.


  • hx1_210
    Modifié (15 Jun)
    @JLapin

    merci pour le détail. J’ai édité mon message où je m’étais auto embrouillé entre cyclique et nilpotent pendant que tu me répondais.

    Pour moi la question 1/ que tu poses n’est pas triviale et se démontre à l’aide des injections de Frobenius. 
    Le premier saut vaut 1 et par suite $X^{n-1}$ n’annule pas $f$

    Bien vu. Merci.

    Pour la recurrence c’est un coup de dualité classique et le fait que le polynôme caractéristique de $f$ et de sa transposée sont egaux.
  • Je ne connais pas les injections de Froebenius mais tu peux répondre à la première question en vérifiant que
    $$rg f^k -rg f^{k+1}= dim Im f^k \cap Ker f$$
    par application du théorème du rang à la restriction de $f$ à $Im f^k$.
    Par ailleurs, je serais curieux d'en voir plus sur ta façon de montrer ce point 1) en effectuant une récurrence.
  • hx1_210
    Modifié (15 Jun)
    Pour les injections de Frobenius on quotiente $Ker(f^i+1)$ par $Ker(f^i)$. (Je n’invente rien, j’ai bossé cela quand j’ai révisé la jordanisation). Merci de ton indication pour une méthode moins snob.

    pour ma récurrence, tu as raison de tiquer et d’insister en la rédigeant dans le détail je n’arrive pas à passer de $\mu_{f|H}$ à $\mu_{f}$.
    de fait si $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ pour $^t f$, le supplémentaire de son orthogonal n’est pas nécessairement $f$- stable. 

    D’ailleurs s’il l’etait le polynôme minimal serait de degré $n-1$ ce qui n’est pas.

    Merci de tes indications et de m’avoir relancé pour que je corrige mon erreur.

  • Pour les injections de Frobénius 


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