CNS sur un triangle

stfj
Modifié (10 Jun) dans Géométrie
Bonjour,
En manipulant geogebra, j'ai eu l'idée de l'exercice suivant que je vous soumets :
Exercice : Soit $(a,b,c)$ un triangle de médiatrices $m_a:=méd(B,C)$(et circulairement), de hauteurs $h_A$(etc.) et de pieds des hauteurs $H_A$. Soit $$M_a:=m_b\times BC$$
On cherche une Condition Nécessaire et Suffisante pour que $H_A=M_a$

Très cordialement, Stéphane.

Réponses

  • Bonjour stfj, pardon mais que signifie $m_b \times BC$? Une droite multipliée par une longueur... :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Rescassol
    Modifié (10 Jun)
    Bonjour,

    Non Nico, c'est le Wedge entre les deux droites $m_d$ et $(BC)$.
    Je trouve $a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2 + b^2)c^2$

    Cordialement,
    Rescassol

  • Ludwig
    Modifié (10 Jun)
    $C=45°$ modulo $180$
  • Bonsoir,

    Oui, c'est équivalent.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour, je trouve la même CNS que @Rescassol. Mais comment l'interpréter géométriquement à la vue des manipulations qu'on peut faire avec geogebra?
    Cordialement, Stéphane.
  • Bonjour;

    Stéphane, tu peux essayer ça:
    CosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
    Nul=Factor(2*CosC^2-1)
    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    Modifié (10 Jun)
    ok $$M_a=H_A\iff 2\cos^2C=1\iff C\equiv 45°\mod 90°$$
  • Comment as-tu trouvé ton résultat , @Ludwig ?
  • J'ai tracé le cercle de diamètre $[AC]$.
  • NicoLeProf
    Modifié (10 Jun)
    Du coup, mon côté rigide dit qu'il faut respecter les notations et écrire $M_a := m_b \wedge (BC)$.
    (Une droite est notée entre parenthèses, mes petits collégiens perdent des points en éval s'ils oublient les parenthèses ! ^^' :D)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Et tu t'échineras, @NicoLeProf , toute ta carrière peut-être sur ces conventions dont les élèves n'ont cure, n'est-ce pas ? Un truc de vieux prof : ils réagissent seulement quand c'est le prof qui ne respecte pas les conventions. Là, cela les choque.
  • @Ludwig, c'est modulo 90°, n'est-ce pas ?
  • Oui, je me suis trompé.
  • Le problème si l'on ne respecte pas ces conventions de notations, c'est qu'on ne comprend plus ce que veulent écrire les autres ensuite, ce serait comme des fautes de français qui créent des contresens. Les élèves peuvent le comprendre, je continuerai à leur expliquer et à enlever des points quand je vois ce genre d'erreur surtout en 4ème et en 3ème ! ;)
    En tout cas, en voici un exo intéressant ! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • stfj
    Modifié (10 Jun)
    Comment as-tu pensé si rapidement au cercle de diamètre AC, @Ludwig ? Moi qui suis laborieusement(*) passé par les coordonnées barycentriques, cela m'épate ou m'interpelle pour le moins .
    ________________
    Et encore, il m'a fallu un coup de pouce de @Rescassol pour obtenir l'interprétation géométrique de la CNS obtenue.

  • RHOM
    Modifié (10 Jun)
    stfj a dit :
    @Ludwig, c'est modulo 90°, n'est-ce pas ?

    Ludwig a dit :
    Oui, je me suis trompé.

    non ce n'est pas modulo $ 90^°$
    la condition est $\angle ACB =\pm   45^°\mod 180^°$
     on peut  éviter cette écriture en modulo en distinguant les cas de $\angle ACB$ aigu et obtus en  négligeant l'orientation dans ce cas l'angle  $\angle ACB$ est $45^° $ ou  $135^°$

     P.S. ;Dans le premier cas l intersection  a lieu à l’intérieur du segment $BC$ dans l'autre c'est a l'extérieur. 
    pour la preuve  ce n'est pas magique Le triangle $AH_aC$ est évidemment rectangle et vu que $H_a$ est sur la bissectrice de $ CA $ nôtre triangle $AH_aC$ est rectangle isocèle!

  • stfj
    Modifié (10 Jun)
    Je récapitule : $$\boxed{M_a=H_A\iff a ^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2 + b^2)c^2\iff 2\cos^2C=1\iff C\equiv 45°\mod 90°}$$puisque $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
    Je veux bien qu'il y ait une erreur dans ce que je viens d'écrire mais où?
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