Diviseurs

Bonjour ! Je ne comprends pas vraiment la solution donnée (plus particulièrement la réponse à la question 1)), surtout la présence de $\epsilon$ et le $2$ devant le $(a+1)\cdots$.


Voici comment j'ai pensé à ça pour avoir une idée. Mais je ne sais pas vraiment comment je pourrais le prouver de manière rigoureuse et plus convaincante.

1.  Déterminons le cardinal de $\mathcal{D}(n)$.
Supposons $a=b=c=1$. Alors $n=2\times 7\times 11=154$. Donc $\mathcal{D}(154)=\{1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154\}$. \[\text{Ainsi } \, card(n)=8=2^3.\]
Supposons $a=b=c=2$. Alors $n=2^2\times 7^2\times 11^2=23716=(154)^2$.  Donc \begin{align*} \mathcal{D}(154^2)=\mathcal{D}(154) & \cup \{2^2, 7^2, 11^2, 14^2, 22^2, 77^2, 154^2 \} \\ & \cup\{28, 44, 77, 98, 242, 308, 539, 847, 1078, 1694, 2156, 3388, 11858\}. \end{align*} \[\text{Alors } \, card(n)=27=3^3.\]
On constate que si $a=b=c=k+1$ avec $k\in \mathbb {N}$. Alors  \[\boxed{card(n)=(k+1)^3=(a+1)(b+1)(c+1)}. \quad (*) \]
Maintenant supposons que $a\neq b\neq c$. Prenons $a=3, b=2, c=1$. Alors $n=2^3\times 7^2\times 11=4312$. Donc $\mathcal{D}(4312)=\mathcal{D}(154) \cup \{4, 8, 28, 44, 49, 56, 88, 98, 196, 308, 392, 539, 616, 1078, 2156, 4312\}$. \[\text{D'où } \, card(n)=24.\]
Soient $x, y, z\in \mathbb {N}$. Or $24=(a+x)(b+y)(c+z)=(3+x)(2+y)(1+z)$. Déterminons toutes les valeurs de $x, y, z$ qui vérifie l'équation.
$\quad \bullet$ Si $x=y=z=0$ alors, $24=3\times 2\times 1$. Faux.
$\quad \bullet$ Si $x=y=z=1$ alors $24=(3+1)(2+1)(1+1)=4\times 3 \times 2$.
$\quad \bullet$ Donc pour tout $x=y=z\geqslant 1$ il n'y a pas de solution. D'où \[\boxed{card(n)=(a+1)(b+1)(c+1)}. \quad (**)\]
$\quad \bullet$ Si $x=y=0$ et $z=1$. Alors $24=(3+0)(2+0)(1+1)=12$. Faux.
$\quad \bullet$ Si $x=y=0$ et $z=2$. Alors $24=(3+0)(2+0)(1+2)=18$. Faux.
$\quad \bullet$ Si $x=y=0$ et $z=3$. Alors $24=(3+0)(2+0)(1+3)=24$.
$\quad \bullet$ Donc pour tout $x=y=0$ et $z\geqslant 2$ il n'y a plus de solution. D'où \[\boxed{card(n)=(a)(b)(c+3)}. \quad (***)\]
$\quad \bullet$ Si $x\neq y \neq z$.
$\quad \quad \text{}$ Pour $x=0, y=1, z=2$. On a $24=(3+0)(2+1)(1+2)=27$. Faux.
$\quad \quad \text{}$ Pour $x=1, y=2, z=3$. On a $24=(3+1)(2+2)(1+3)=64$. Faux.
$\quad \quad \text{}$ Et $24\leqslant 64$. Donc pour tout $x\neq y\neq z $, il n'y a aucune solution.
Comme $(***)$ est différent de $(*)$ et $(**)$ donc elle est à rejeter. Finalement,
 \[\boxed{\color{blue}card(n)=(a+1)(b+1)(c+1)}.\]
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • AlainLyon
    Modifié (8 Jun)
      Le texte de l'énoncé est ambigü car il s'agit de l''ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ et non de l'ensemble des diviseurs dans $\mathbb{N}$! Aux diviseurs que tu calcules il faut ajouter leurs opposés  : d'où le $\varepsilon$ et le $2$!
  • Ce $\varepsilon$, c'est un peu normal de ne pas y penser. C'est un peu normal de compter comme toi (même si je ne suis pas convaincu par ta méthode, mais c'est un autre débat).
    Mais en lisant le corrigé, on nous dit que tous les diviseurs de $n$ sont de la forme $\varepsilon \times 2^{\alpha} \times 7 ^{\beta} \times 11^{\gamma}$ et on précise : avec $\varepsilon \in \{1,-1\}$ . Donc là, c'est clair, on comptabilise aussi les diviseurs négatifs.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour 
    Si $d$ est un diviseur de $n$, il en est de même de $-d$. Donc quand tu détermines la forme générale d'un diviseur de $n$, tu dois garder à l'esprit qu'un tel diviseur peut être positif ou négatif, d'où le $\varepsilon$ et d'où le $2$ dans la formule du cardinal : on fait le produit du nombre de valeurs possibles pour chaque paramètre $\varepsilon$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
  • Amadou
    Modifié (8 Jun)
    Ah je comprends donc, il était question de trouver les diviseurs de $n$ dans $\mathbb Z$, au lieu de dans $\mathbb{N}$. 
    AlainLyon a dit :
      Le texte de l'énoncé est ambigü car il s'agit de l''ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ et non de l'ensemble des diviseurs dans $\mathbb{N}$! 
    Dans ce cas ne serait-il pas mieux de dire, pour tout $n$ entier (relatif)... ?

    Par contre si je comprends bien. Pour tout entier $a$,   $a\in \mathcal{D}(n) \iff -a\in \mathcal{D}(n)$.

    Merci à vous !

    Qu'en est-il de mon raisonnement est-elle convaincante à l'exception de @lourrran
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • zygomathique
    Modifié (8 Jun)
    salut

    ton raisonnement présente de nombreux cas particuliers qui ne seront jamais une preuve.
    ils apportent éventuellement des contraintes donc des conditions nécessaires.

    lorsqu'on sait que les diviseurs de $p^n$ avec p premier et n entier quelconque sont les $p^k$ avec $ 0 \le k \le n$ alors il est aisé de généraliser pour toute décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier quelconque par un simple argument de dénombrement ...

    (et on peut même faire un raisonnement par récurrence sur le nombre de facteurs premiers distincts de l'entier donné)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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