mesure sur une surface

mathspe
Modifié (June 2024) dans Analyse
Bonjour.
Soit $(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$ et $H:x_n=0$
si $f$ est une fonction définie sur $\R^n$ continue alors 
$\int_{H} f(x)d\lambda(x)=0$ où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue.
Ma question Peut-on définir des mesures $(\mu)$ sur $H$ de sorte que $\int_H f(x) d\mu\not=0$.
Merci

Réponses

  • Une réponse naïve d'un non expert en attendant l'intervention d'une personne plus compétente.
    Dans ce cas particulier : la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{n-1}$ fait le travail.
    Sinon, sur une variété, tu peux te ramener localement à la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^k$.
  • Bonjour Mathspe.

    $H$ est un espace vectoriel isomorphe à $\mathbb R^n$, donc il y a une mesure de Lebesgue canonique sur $H$. Pour laquelle $\mu(H)=+\infty$. On peut aussi y définir des mesures bornées, si on veut.

    Cordialement.
  • Voir aussi la notion de mesure superficielle.
  • Merci beaucoup à tous.
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