DM à conclure / expo matricielle

holiday
Modifié (11 Jun) dans Algèbre

Bonjour à tous, je n'arrive pas à faire la partie III du problème ci-joint. Je pense avoir fait convenablement les deux premières parties... Merci de vos lumières.



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Réponses

  • etanche
    Modifié (6 Jun)
    Il me semble la question II/ 5) permet de résoudre III/ 1) et III/ 3) 

    Autre piste pour III/ 1)
    Pour tout $x$ réel $e^{xA}e^{xB}=e^{xB}e^{xA}$, pour $x$ proche de $0$ utilise $e^{xM}=Id+xM+o(x^2)$ puis compare les coefficients de $x^2$.

    Pour III/ 3) tu as une expression de exponentielle d’une matrice antisymétrique réel de taille 2 dans le paragraphe 3 de 
    http://vonbuhren.free.fr/Agregation/Developpements/dev_antecedents_identite_exponentielle.pdf

  • holiday
    Modifié (6 Jun)
    Bonjour et merci pour ta réponse.
    Pour III/ 1),  je pense avoir une réponse en utilisant 3 cas :
    $\#sp(A)=2$ et $\#sp(B)=2$
    $\#sp(A)=2$ et $\#sp(B)=1$   (ou $\#sp(A)=1$ et $\#sp(B)=2$)
    $\#sp(A)=1$ et $\#sp(B)=1$
    puis en utilisant les parties précédentes (expression de $e^A$ polynomiale en $A$ et $I$)
    Pour III/ 2), je trouve $\alpha_1-\alpha_2 = 0 \pmod {2\pi}$ : est-ce correct ?
    Pour III/3 : je dois me tromper car je trouve que si $e^A = I$, alors $A $serait une matrice scalaire ... Ce qui me semble faux.
    A vos stylos rouges ...
    Merci encore.

     





  • @ holiday pourquoi tu as retiré le sujet ?
  • je viens de l'ouvrir, il y est toujours (à nouveau ?).
  • Je suis en bibliothèque sur un ordinateurs PC le pdf du fichier apparaît, mais sur un ordinateur Apple le pdf n'apparaît pas. 
      
  • Puisque c'est un DM, je ne vais pas intervenir.
     Mais pour la question III 1), il me semble que pour une matrice carrée d'ordre 𝑛 hermitienne, il y a équivalence entre 𝐴 et 𝐵 commutent et exp (𝐴) et exp(B) commutent.

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour Gebrane, c'est un DM de quand j'étais en sup, dont je n'ai pas la correction... mais que je reprends des années après pour le plaisir. Il n'y a aucun enjeu du type DM ... Je pense que l'esprit est d'utiliser le moins d'outils possibles... L'idée du DL d'Etanche est certainement conclusive, mais je crois qu'on n'a pas besoin de ceci.
    Bonne soirée.
  • Qu'est ce que ça implique (sur les coefficients d'une dépendance linéaire) lorsque l'on a $(e^A,I,A)$ est une famille liée, lorsque $e^A$ n'est pas scalaire ? Il faut quelque chose différent de 0 quelque part.
  • Bonjour,

    Puisque ce n'est pas un devoir à rendre, pourquoi se limiter à des matrices d'ordre 2 ? Je propose pour les lecteurs les plus avertis de démontrer ceci :

    Les solutions de l'équation dans \( M_n(\mathbb{C}) \) de
    \[ e^A = I_n \]
    sont les matrices diagonalisables dans \( \mathbb{C} \) ayant des valeurs propres dans \(\{2ki\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}\).


    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je tente quelque chose : soit $A$ une solution de cette équation.
    D'après la décomposition de Dunford, il existe une matrice diagonalisable $D$ et une matrice nilpotente $N$ d'indice de nilpotence noté $p$ telles que $A=D+N$ avec $DN=ND$.
    On a : $e^A=e^D e^N=I_n$ donc $e^D=e^N=I_n$. 
    Supposons que $p>1$ alors $e^N=\sum\limits_{k=1}^{p-1} \dfrac{N^k}{k!}=I_n+N+...+\dfrac{1}{(p-1)!} N^{p-1}=I_n$ donc on obtient : $N+...+\dfrac{1}{(p-1)!} N^{p-1}=0$ et ainsi, le polynôme $P(X)=X+...+\dfrac{1}{(p-1)!} X^{p-1}$ est un polynôme annulateur de $N$ de degré $p-1 < p$, ce qui contredit le fait que $X^p$ est le polynôme minimal de $N$ ($p$ étant l'indice de nilpotence de $N$).
    Ainsi, $p=1$ et $N=0$.
    Donc $A$ est diagonalisable. Ainsi, il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PDP^{-1}$. De plus, $e^A=I_n$ donc $Pe^DP^{-1}=I_n$ ainsi, $e^D=I_n$ soit finalement, $\forall j \in \{1,...,n\}$, $\exists k \in \mathbb{Z} \text{ }| \text{ } [D]_{j,j}=2 i k \pi$. Ce qui conclut le sens direct.
    Réciproquement, on vérifie facilement que toute matrice diagonalisable ayant ses valeurs propres dans l'ensemble $\{2ki\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$ est solution de cette équation.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • for mid able  
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • holiday  Maintenant, tu as tout pour nous raconter l'histoire des matrices de $M_2[\mathbb  C)$ vérifiant $e^A=I_2$.  Qui sont-elles ces matrices :mrgreen:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour @NicoLeProf
    L'Op ne s'intéresse pas 

    l'abréviation for mid able signifie  For the mid part, it able to be correct. Reprenons 

    NicoLeProf
    a dit :
    Je tente quelque chose : soit $A$ une solution de cette équation.
    D'après la décomposition de Dunford, il existe une matrice diagonalisable $D$ et une matrice nilpotente $N$ d'indice de nilpotence noté $p$ telles que $A=D+N$ avec $DN=ND$.
    On a : $e^A=e^D e^N=I_n$ donc $e^D=e^N=I_n$. 
    cette conclusion n'est pas justifiée, tu peux dire seulement que $e^{-D}=e^N$ donc courage , tu continues dans le but de démontrer que $N$ est nulle
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Alors j'essaie: on se restreint aux matrices triangulaires supérieures par conjugaison, on en déduit que si M est triangulaire supérieure, sans être diagonale alors, $e^M$ est triangulaire supérieure (je précise cela plus bas) et les coefficients diagonaux de $e^M$ sont les exponentielles des coefficients diagonaux, pour avoir $e^M=I$ nécessairement les coefficients diagonaux sont des multiples de $2i\pi$, maintenant je précise le truc de plus haut, formellement on a $\exp{M}=I+N$
    où $N$ est triangulaire supérieure stricte, on utilise $\log{(I-\exp{M})}="M-sa partie diagonale"=N$ et c'est un homéomorphisme, tout fonctionne en utilisant les développements en série entière de $\exp$ et $\ln(I-M)$ c'est légitimes les sommes sont finies. (le raisonnement que j'ai fait est mal écrit au mieux il contient les idées).
  • Bonjour @gebrane,
    je détaille le passage de $e^D e^N=I_n$ à $e^D=e^N=I_n$ suite à des recherches sur internet pour m'aider.
    Comme la décomposition de Dunford de $A$ est $D+N$, on peut montrer que la décomposition de Dunford de $e^A$ est $e^D+e^D(e^N-I_n)$. En effet, $e^D$ est diagonalisable puisque $D$ l'est et $e^D(e^N-I_n)$ est nilpotente et on prouve qu'il y a unicité de cette décomposition.
    Par suite, on conclut par unicité que $e^D=I_n$ et que $e^N-I_n=0$ soit $e^N=I_n$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • gebrane
    Modifié (8 Jun)
    Bonjour Cher ami @NicoLeProf,
    Maintenant, je remplace for mid able par formidable .
    J'ai vu la suite presque de la mémé façon. On a d'une part  $e^{-D}=e^{-D}+0$ , d'autre part $e^{-D}=e^N=I+M$ avec M nilpotente et $e^{-D}$ diagonalisable. D'après l'unicité de la décomposition de Dunford,  $ e^{-D} =I$  et $M=0$  . d'où    $e^{D}=e^N=I$ 

    edit correction Latex 






    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Cher ami @gebrane, je te remercie pour cette très intéressante méthode sans doute plus élégante ! :);)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Titi le curieux
    Modifié (8 Jun)
    Bonjour,
      Juste une remarque pour le III -1:
     etanche a montré que  $\forall t\in \mathbb{R}, e^{tA} e^{tB} =  e^{tB}e^{tA}$ implique $AB = BA$. Or la condition était seulement $e^A e^B = e^B e^A$. 
    J'ai voulu utiliser l'expression avec le commutateur, j'ai jeté un oeil sur wikipédia  et (à vérifier) je crois qu'il y a une erreur avec le contre-exemple, et qu'on devrait avoir quelque chose comme $\exp (Y ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
    Pour ceux qui auraient la flemme de regarder le lien, $Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2i\pi \end{pmatrix}$, ils disent que son exponentielle est égale à l'identité.

    Edit, en revanche je crois qu'on a bien deux matrices qui ne commutent pas mais dont les exponentielles sont toutes deux égales à l'identité si on prend par exemple le même $X$ que sur la page ou encore $X= 2i \pi \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $Y = 2\pi \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

  • Bonjour Titi le curieux, c'est quoi le problème ? Si l'exponentielle est l'identité, alors c'est une matrice scalaire ! Dans la question, on suppose que les exponentielles de deux matrices non scalaires commutent.

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pour la suite je veux bien, mais dans la question 1 on demande de montrer ce point. Et je ne trouve pas ça évident.
  • gebrane
    Modifié (8 Jun)

    Titi, je ne sais pas si j'ai compris ton souci ! Est-ce que tu bloques sur la question III 1 ? Si c'est le cas, d'après les deux parties I et II, 

    $$\forall A \in M_2(\mathbb{C}), \quad \exists a, b \in \mathbb{C}, \quad \exp(A) = aI + bA.$$

    Bon, je continue si tu ne vois pas la suite.

     On a  \(\exp(A) = aI + bA\) et \(\exp(B) = a'I + b'B\) . Puisque \(\exp(A)\) et \(\exp(B)\) sont supposés non scalaires, alors  \(b, b'\) non nuls. Si tu supposes que \(\exp(A) \exp(B) = \exp(B) \exp(A)\), alors après simplification, tu tombes sur \(bb'AB = bb'BA\) et puisque \(b\) et \(b'\) sont non nuls, tu as \(AB = BA\).

    Et pour la III.2 tu vois ?


    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Cool! Merci bien!
  • Pour les lecteurs les plus avertis :
    Soient \( A \) et \( B \) deux matrices de \( M_n(\mathbb{C}) \) diagonalisables à valeurs propres réelles. Affirmer (avec une preuve) ou réfuter (avec un contre-exemple) que \( e^A \) commute avec \( e^B \) implique que \( A \) commute avec \( B \).
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Titi le curieux
    Modifié (9 Jun)
    La restriction de l'exponentielle sur $\mathbb{R}$ étant injective, les sous-espaces propres de $A$ et $e^A$ sont confondus (idem pour les autres). Tout comme $e^A$ et $e^B$, $A$ et $B$ sont co-diagonalisables (donc commutent).
  • @gebrane : Je trouve même que c'est vrai sans rien supposer sur les v.p. de $A$ et $B$.
  • @gai requin : Non, il peut y avoir des problèmes si il existe dans $A$ comme dans $B$ des paires de valeurs propres dont la différence est de type $2ik\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Dans mon premier message, j'ai donné une paire de matrices de $M_{2,2}(\mathbb{C})$ qui ne commutent pas et qui ont toute deux l'identité comme image par l'exponentielle.

  • Donne ta preuve Cher @gai requin,

    J'ai pensé comme Titi pour une preuve,  l'argument clé est que l'application exponentielle est injective sur les réels.
    J'ai hâte à te lire 

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Oui, il suffit que $\lambda\mapsto e^{\lambda}$ soit injective sur les spectres de $A$ et $B$.
    En effet, dans ce cas-là, il existe $P,Q\in\mathbb C[X]$ tels que $A=P(e^A)$ et $B=Q(e^B)$ par interpolation.
  • Je partage une petite réflexion, , démontrer ce charmant résultat
    Si $A\in  M_n(\mathbb C)$  diagonalisable à valeurs propres réelles , alors $e^A$ n'est pas scalaire
    NB Si c'est faux, c'est que ma preuve pensée est fausse
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : Si $A$ est scalaire, $e^A$ aussi.
  • J'ai oublié de mentionner que les vp sont distinctes
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • C'est bidon comme question  Par l'absurde si $e^A=\lambda I$ avec $\lambda\in C$ 
     $A=P^{-1}DP \Longrightarrow e^A=P^{-1}e^D P =\lambda I \Longrightarrow e^D=\lambda I$  absurde 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • holiday
    Modifié (10 Jun)
    Bonjour à tous, merci pour vos messages. J'ai modifié mon document initial en y ajoutant mon début de correction. Merci de me dire ce que vous en pensez. Je compte l'augmenter par la suite en tenant compte de cette discussion.
  • Pour la III 2, je trouve bizarre que tu ne vois pas cette condition sur $\alpha_1 - \alpha_2$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @ gebrane : j'ai rédigé ma solution sur le doc. Qu'en penses-tu ?
  • Oui pour la question III 2) Tu rappelles seulement ce que tu as trouvé 

    $e^A = \frac{e^{\alpha_1} - e^{\alpha_2}}{\alpha_1 - \alpha_2}A + \frac{\alpha_1 e^{\alpha_2} - \alpha_2 e^{\alpha_1}}{\alpha_1 - \alpha_2}I $
    donc $e^A$ est scalaire ssi $e^{\alpha_1} - e^{\alpha_2}=0$ d'où 
    Pour l équation exp(X)=exp(A) avec exp(A) non scalaire tu peux voir la forme de X, $$X=\alpha I + \beta A$$ avec $\beta\neq 0$. Tu peux si tu veux déduire que X et A commutent et déduire de ton équation que $exp(X-A)=I$ ...
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • J'ai fait les dernières questions (voir le doc). A vos stylos rouges ;)
    @ gebrane : merci, je regarde et je modifie si besoin.
  • Pour $exp(A)=I$ tu peux résumer en un seul cas
    $exp(A)=I\iff  \exists P$ inversible  $\exists \alpha_1, \alpha_2\in 2i\pi \mathbb Z$, tel que $$ A=P^{-1} diag (\alpha_1, \alpha_2) P$$

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pour ta résolution de exp (X)=exp(A)
    A revoir
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Amusement pour tous
    La théorie est bien, mais en pratique , résolution de  $$e^X  =e^ A$$ avec $A$ la matrice  \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ou la matrice \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gai requin
    Modifié (12 Jun)
    Dans le premier cas, je trouve que $e^X=e^A\Leftrightarrow$ il existe des entiers $n,m$ tels que $X=A+P(A)$ où $P$ est l'unique polynôme de degré au plus $1$ tel que $P(1)=2ni\pi$ et $P(2)=2mi\pi$.
  • @holiday
    Peut-on savoir ton avis sur le résultat de @gai requin. ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Et toi, qu’as-tu trouvé @gebrane
  • Bonsoir.

    @ NicoLeProf : je te cite :     𝑃(𝑋)=𝑋+...+1(𝑝−1)!𝑋𝑝−1 est un polynôme annulateur de 𝑁 de degré 𝑝−1<𝑝, ce qui contredit le fait que 𝑋𝑝 est le polynôme minimal de 𝑁 (𝑝 étant l'indice de nilpotence de 𝑁).
    Je ne comprends pas bien : X^p est le monome de degré minimal annulant N, mais en quoi le fait d'avoir trouve un POLYnome de degré p-1  contredit-il la minimalité  ???

    @ gebrane : tu me dis : Pour ta résolution de exp (X)=exp(A)  A revoir
    En effet, je passe de $e^Xe^{-A} = I$ à $e^{X-A}=I$ sans justification ,or on ne sait pas si $X$ et $A$ sont permutables. Est-ce ceci qui pose probleme ?

    @ gairequin : je n'ai pas eu le temps de faire proprement les calculs pour voir si je trouve comme toi ...

    Merci à tous de vous intéresser à mes questions.

  • NicoLeProf
    Modifié (12 Jun)
    Bonsoir holiday,
    j'ai trouvé un polynôme annulateur de $N$ de degré strictement inférieur au degré du polynôme minimal de $N$. C'est absurde car le polynôme minimal de $N$ est censé être le polynôme annulateur de $N$ de degré le plus petit possible. Donc tu ne peux pas trouver un polynôme annulateur de $N$ (non nul) de degré strictement inférieur à celui du polynôme minimal : autrement dit, il n'existe pas de polynôme annulateur de $N$ (non nul) de degré strictement inférieur à $p$ car son polynôme minimal est de degré $p$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • holiday
    Modifié (13 Jun)
    @ NicoLeProf. 
    J'ai bien compris ton argumentaire, ce que je voulais dire, c'est que je ne comprenais pas la raison pour laquelle le fait que $N^p=O$ et $N^k\ne O$ pour tout $k\leqslant p-1$  implique que ton polynôme annulateur (de degré $p-1$) implique une contradiction. $$P(X)=X + \dots + \dfrac 1 {(p-1)!} X^{p-1}  \qquad \deg(P)=p-1$$ En fait, je pense qu'il faudrait rajouter que si on note $P(X)= X+a_2X^2+\dots +a_{p-1}X^{p-1}$, on a $O=N+a_2N^2+\dots +a_{p-1}N^{p-1}$. En multipliant par $N^{p-2}$, on obtient $N^{p-1}=0$ ce qui contredit le fait que $N^k\ne O$ pour tout $k\leqslant p-1$.



  • Oui holiday mais ce que tu expliques à la fin de ta réponse ci-dessus rejoint exactement mon raisonnement sur le polynôme minimal qui est plus direct.
    J'ai du mal à voir ce que tu ne comprends pas. La matrice $N$ est nilpotente d'indice de nilpotence égal à $p$ ($N^p=0$ et $N^k \neq 0$ pour tout $k \leq p-1$ comme tu l'as écrit)  donc son polynôme minimal est $X^p$. C'est le polynôme annulateur de $N$ de plus petit degré.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bonjour @gai requin

    Je trouve deux types de solutions

    $X=\begin{pmatrix} 1+2i\pi n & 1 \\ 0 & 2+2i\pi n \end{pmatrix}$ avec $n\in\Z$
    ou
    $X=\begin{pmatrix} 1+2i\pi n & 1+2i\pi (m-n) \\ 0 & 2+ 2i\pi m \end{pmatrix}$ avec $n,m\in\Z$ et $n\ne m$
    J'ai utilisé la caractérisation suivante ( que j'ai démontrée) objet de la partie III de l'exo
     Soit $A\in M_2(\C)$ avec $e^A$ non scalaire.
    $X$ une solution de l'équation $e^X = e^A$ SSI $[X,A]=0$ et $X-A$ diagonalisable de valeurs propres dans $2i\pi \Z$



    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : On trouve exactement la même chose.
    Remarque : Ton premier type est inutile, c'est le deuxième avec $m=n$.
  • @ NicoLeProf : ce que je ne comprends pas, c'est que tu dis "La matrice 𝑁 est nilpotente d'indice de nilpotence égal à 𝑝 DONC son polynôme minimal est 𝑋^𝑝 ". Pourquoi ne pourrait-on pas imaginer que son polynôme minimal soit de degré inférieur à $p$ ? Le polynôme minimal est le polynôme annulateur de plus petit degré, ce n'est pas le monome annulateur de plus petit degré !
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