Intégration d'une équation différentielle
Bonjour,
J'essaie de comprendre un passage d'un livre où on doit intégrer une équation différentielle qui m'a l'air mal posée. C'est un livre de finance d'où le manque de clarté dans les notations.
On a $S$ un prix à date $t$, et on suppose que sur un intervalle "court" $\Delta t$, le prix va suivre la modélisation suivante (avec $\mu$ une constante):
$$ \Delta S = \mu S \Delta t $$
On m'indique qu'en passant à la limite ($\Delta t \to 0$), on a en notations infinitésimales:
$$ dS = \mu S dt $$
Et enfin, qu'en intégrant entre le temps $0$ et le temps $T$ on obtient :
$$ S_T = S_0 e^{\mu T} $$
Je n'ai pas beaucoup d'expérience en calcul infinitésimal et les notations $dt$ et $dS$, mais de ce que je comprends on a: $S$ qui est une fonction de $t$, et en ré-arrangeant on a :
$$ \dfrac{dS}{dt} = S \mu $$
Et là c'est une équation différentielle classique de la forme $S' = \mu S$ et les solutions sont de la forme $S : x \mapsto C \times e^{\mu x}$ avec $C$ une constante quelconque.
Comment arriver au résultat qu'ils donnent ?
Si on repart de l'équation et qu'on intègre on obtient :
$$ \int_0^T S'(t) dt = \mu \int_0^T S(t) dt $$
Ce qui donnerait : $S_T - S_0 = \mu \int_0^T S(t) dt$, pas très loin de ce qu'ils donnent.
En écartant un peu le calcul mathématique, je m'attendais à ce que le prix en $T$ soit en fait le prix en $0$ (i.e. $S_0$) multiplié par un facteur $1 + \mu \times T$ avec $T$ le temps écoulé.
Comment arriver proprement à ce résultat ? Et que vient faire l'exponentielle là ?
Réponses
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Tu trouves $S(t)=Ce^{\mu t},\forall t$ Si tu notes $S(0)=S_0$ alors $C=S_0$ et donc $S(t)=S_0e^{\mu t},\forall t$ En particulier tu tombes sur le résultat souhaité pour $t=T$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Tu pars de $S'(t)=\mu S(t),\forall t\in I$ avec $I$ un intervalle.
Au lieu de diviser par $S$ on multiplie par $e^{-\mu t}$ et on fait la différence, d'où $e^{-\mu t} S'(t)-\mu S(t)e^{-\mu t}=0\forall t\in I$ d'où
$$(e^{-\mu t}S(t))'=0 \forall t\in I$$
d'où .....Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Merci
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Bonjour à tous
voici le détail, pas à pas :
de $dS=μSdt$ on a, en divisant pas $S$ pour $S <> 0$ : $ \dfrac{dS}{S} = μdt $
Or une primitive de $ \dfrac{dS}{S} $ est $ Ln(S) $ donc : $ Ln(S) = μt + Constante $
Si on veux se simplifier la vie, on prend la Constante = 0 (si nous sommes dans un cas qui le permet) et on a :
$ Ln(S) = μt $ . En passant aux exponentiels de chaque côté, on a : $ Exp( Ln(S) ) = S = Exp(μt)$
D'où le résultat.
Remarque : le $S_0$ de Gebrane a pour origine la Constante, qu'il n'a pas prise = 0.
Cordialement,
DZE -
LewisK, je remarque que dans ce que tu as écrit, il y a un $S_0$.
donc, pour ton calcul; il ne faut pas prendre Constante = 0.
DZE -
@ DZE : j'ai une préférence pour ce qu'a écrit gebrane.Je vais dans la suite volontairement oublier l'aspect du modèle qui permet de supposer que $S(t)>0$ pour tout $t$. Mais tout de même, supposer que le modèle est bien posé ne vaut pas une démonstration des affirmations dont on a besoinTa méthode pose plusieurs soucis : tout d'abord pour diviser par $S$ (en pratique $S(t)$) tu as besoin non que $S$ soit non nulle, mais que $S$ ne s'annule pas (ce qui est plus fort). En général cela se fait par le fait que la fonction nulle est une solution évidente puis on applique Cauchy-Lipschitz.Ensuite, visiblement tu ne supposes que $S$ non nul mais tu prends comme primitive de $1/S$, le logarithme. Cela n'est pas valable si l'on est dans $\R^-_*$. Il faut donc soit expliquer que $S_0>0$ puis en utilisant à nouveau Cauchy-Lipschitz en déduire que $S(t)>0$ pour tout $t$, ou bien intégrer en $\ln(|S|)$ qui est valable sur chacun des deux intervalles.Enfin, si l'on intègre en $\ln(|S|)$, on aura à la fin un $|S(t)/S(0)|$, et pour se débarrasser de la valeur absolue, il conviendra d'expliquer que la fonction à l'intérieur ne s'annule jamais et donc ne change pas de signe, elle sera donc toujours positive ...Bref, tu as plusieurs manques dans ta preuve, alors que la technique du facteur intégrant, proposé par gebrane est très efficace et ne pose pas ces problèmes.
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La méthode de Gebrane a l'inconvénient que, si on n'a pas déjà une idée du résultat (et donc avoir l'idée de multiplier par $e^{-\mu t}$) on n'a aucun moyen de trouver le résultat.
je ne suis pas rentré dans tout le détail du calcul parce que LewisK indique qu'il regarde le sujet sous l'angle de la finance. je doute que l'astuce de Gebrane soit utilisée en finance. je ne l'ai jamais vue. j'y travaille depuis longtemps. -
Le facteur intégrant n'est pas une "astuce" révolutionnaire, c'est la méthode qui m'avait été enseignée en terminale pour résoudre n'importe quelle équation différentielle linéaire du premier ordre et consiste simplement à se ramener à y'=f que l'on sait intégrer. Je l'ai déjà présentée a plusieurs reprises en expliquant son aspect naturel et logique et en réfléchissant une seconde on sait par quelle exponentielle multiplier. Par ailleurs, vu que la question est posée sur un forum de maths, effectivement si une méthode pose des problèmes mathématiques je les signale.
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@Lewisk : la différence entre ce que tu attendais et ce que tu vas trouver est que tu raisonnes comme si les intérêts étaient non capitalisés. Au bout de 10 ans, les intérêts ne sont pas 10 fois les intérêts de la première année $i$, tu dois faire apparaître une suite géométrique $(1+i)^{10}$ et non arithmétique $1+10i$. Et lorsque tu fais tendre le pas de temps vers $0$, ça fait apparaître une exponentielle. En effet, si tu écris proprement la suite géométrique concernée, tu vas à un certain moment à avoir à calculer une limite, lorsque $n \to +\infty$ d'une expression du type $(1+a/n)^n$, limite qui est connue pour être $e^a$.
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