Leçon CAPES histoire des maths

On ne demande pas à un candidat d'être un historien des mathématiques. C'est une spécialisation universitaire, il me semble. Juste quelques références utiles pour agrémenter ses cours. Il montre qu'il en a quelques-unes sur un sujet de son choix. Et le reste, il apprendra sur le tas, s'il a envie. Vue la médiocrité actuelle de nombreux élèves, mieux vaut pouvoir leur faire passer le temps parfois avec des histoires. Quant à l'Histoire des mathématiques, c'est une autre histoire . Bref, un peu de bon sens : le jour de l'oral, il faut que l'histoire tienne la route, y compris d'un point de vue strictement mathématique et non métamathématique. Il est peu probable que dans le jury, il y ait un historien des mathématiques. Le CAPES n'est qu'un certificat d'aptitude (CAP), ce n'est pas un titre universitaire comme l'agrégation.

https://www.editions-ellipses.fr/accueil/75-faire-des-mathematiques-avec-l-histoire-au-lycee-9782340033153.html

C'est quand même drôle d'avoir un intitulé de leçon et de se demander ce qu'il faut en entendre. Typique du Capes. Heureusement, les étudiants en préparation bénéficient des traductions fournies par les préparateurs et qui se transmettent comme une tradition orale.

Le problème de poursuite de la compétition Putnam (1959)

Un moineau vole horizontalement en ligne droite 15 mètres sous un aigle et 30 mètres au-dessus d’un faucon. L’aigle et le faucon fondent sur le moineau et l’atteignent simultanément. Le faucon vole deux fois plus vite que le moineau. Quelle distance par court chaque oiseau ? Quelle est la vitesse de l’aigle ?

Je ne connais pas le format du capes actuel, mais c'est bien une leçon d'exercices ? 
Dans les livres, il y a parfois des activités d'intro avec un peu d'histoire, je pense que c'est un peu l'idée, et que qu'on ne demande pas d'être expert. Exemple, en Terminale, avec les complexes. J'ai vu des trucs sur les tables de logarithme.  

En regardant vite fait sur le net, y'a ça qui peut peut-être donner des pistes : 
* livre
* canopé
* apmep.

La nécessité pour un prof de maths de connaître l'histoire des maths ne me semble même pas liée à des impératifs programmatiques. C'est juste un avantage énorme quand on doit enseigner quelque sujet que ce soit.

Tout d'abord ça permet de facilement motiver les concepts en proposant des tâches qui ont vraiment eu une utilité historique et non pas des "faux problèmes concrets" dont tout le monde perçoit le caractère ad hoc.

Ensuite, il ne faut pas oublier que les élèves, à leur échelle, revivent intérieurement des crises que les mathématiciens de l'ancien temps ont vécues également. Cauchy avait toujours des gros problèmes avec les nombres négatifs. Quand on sait comment les vieux savants ont réussi à se dépêtrer de ces difficultés, on est également mieux armé pour aider les élèves. Il ne s'agit pas de dire que nos élèves doivent revivre 5000 ans de problèmes mathématiques mais cette histoire nous éclaire sur les difficultés qu'ils rencontrent. 

En particulier ça permet parfois d'éviter le mépris facile "pff qu'il est nul cet élève, il fait toujours des fautes avec les fractions et les nombres négatifs". Bah oui, comme la plupart des mathématiciens avant le 19ème siècle. Ces sujets sont effectivement très difficiles. 

Des difficultés de quel genre pour un mathématicien de ce calibre?

1°) Soit $(G,\cdot)$ un groupe dont on désignera par $e$ l'élément neutre et $f: G^2 \to G$ une fonction telle que pour tous $x,y,z\in G$, $f(x,yz) = f(x,y)f(x,z)$ et $f(xy,z) = f(x,z)f(y,z)$ (propriété de "distributivité" à gauche et à droite). Alors (i) pour tout $t$ dans $G$, $f(e,t) = f(t,e) = e$ et (ii) pour tous $x,y$ dans $G$, $f(x^{-1}, y^{-1}) = f(x,y)$.

Preuve: (i) $e$ est le seul élément de $G$ solution de l'équation "$x = x^2$" d'inconnue $x$ (car si $x=x^2$, $e = x^{-1} x = x^{-1}(xx) = (x^{-1}x) x = ex = x$). Or $f(e,t) = f(ee,t) = f(e,t) f(e,t)$ et $f(t,e) = f(t,ee) = f(t,e) f(t,e)$.

(ii) $\begin{align} f(x^{-1},y^{-1}) & = f(x^{-1},y^{-1}) e = f(x^{-1},y^{-1}) f(e, y) = f(x^{-1},y^{-1}) f(x^{-1} x,y )= f(x^{-1}, y^{-1}) \left [f(x^{-1},y) f(x,y) \right ] \\ & = \left [ f(x^{-1},y^{-1}) f(x^{-1},y) \right ] f(x,y) = f(x^{-1},y^{-1}y) f(x,y) = f(x^{-1},e) f(x,y) = ef(x,y) = f(x,y) \end{align}$

Lorsque $(G,\cdot)$ est $(\Z,+)$ (cf 2° ci-après) et $f$ est la multiplication $(x,y)\in \Z^2 \mapsto x \times y$, on retrouve la relation $(-x) \times (-y) = x \times y$ pour tous $x,y\in \Z$, qui a fait tant couler d'encre (surtout dans l'univers pédagogiste).

2°) Qui est $\Z$? C'est le quotient de $\N^2$ par la relation $(a,b), (c,d) \mapsto a+d = b+c$ (édité) qui est d'équivalence (ceci est en fait la reformulation de l'idée datant du moyen-âge consistant à représenter les dettes par des nombres négatifs). On peut facilement vérifier que les opérations $\oplus:= (a,x),(b,y)\mapsto (a+b,x+y)$ et $\otimes:= (a,x),(b,y) \mapsto (ab+xy, ay+bx)$ passent au quotient, la première induisant sur $\Z$ une loi de groupe et la deuxième, une fonction ayant entre autres propriétés celles annoncées au 1°).

Voilà voilà, le contenu scientifique du mémoire de didactique de master sur les monstruosités des nombres négatifs expédié (exhaustivement) en 13 lignes , pour le reste des 60 pages de dissertation baratinière requises demandez à votre encadrant de stage.

@Foys : L'exemple des nombres négatifs illustre parfaitement le fait qu'une démonstration mathématique rigoureuse n'est pas nécessairement suffisante pour résoudre les difficultés entourant un concept. Ta preuve (du moins dans le cas de $\Z$) est connue depuis MacLaurin (1698 -- 1746). Pourtant de grosses difficultés, notamment avec la règle des signes, subsistent postérieurement. Par exemple Cauchy n'arrive toujours pas unifier la droite réelle et la voit comme superposition de deux demi-droites, avec au passage un double zéro : le zéro + ($0^+$) et le zéro - ($0^-$). Il considère aussi l'opération $-$ comme étant unaire, à savoir $x \mapsto -x$ et passe à la binarité sans explication (i.e. sans comprendre $a-b$ est une abréviation de $a+ (-b)$). Par ailleurs il continue d'utiliser un langage métaphorique peu clair pour distinguer les nombres positifs ("les vrais nombres" selon lui) des nombres négatifs ("les quantités").

Il faut attendre Hemann Hankel (1839--1873) pour avoir la première présentation propre et complète des nombres négatifs.
Si ce sujet t'intéresse, je recommande l'excellent article de G. Glaeser intitulé "épistémologie des nombres relatifs".

Bien vu! Merci @raoul.S .