Convergence d'une suite réelle sous hypothèse

Bonjour,
Voici un exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que pour tout $\omega \in \mathbb{R}$, $(e^{i \omega u_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. Montrer que $(u_n)$ converge.
J'ai une preuve. Je souhaite connaître les vôtres.
Tony

Réponses

  • JLT
    JLT
    Modifié (3 Jun)
    Notons $f(\omega)$ la limite. La fonction $f$ est mesurable, et $|f(\omega)|=1$ pour tout $\omega$. Si $(u_n)$ était non bornée, quitte à extraire une sous-suite on peut supposer qu'elle tend vers l'infini. En intégrant entre $a$ et $b$, et en utilisant le théorème de convergence dominée, on trouve que $\int_a^b f=0$ pour tout $a,b$, donc $f=0$ p.p., ce qui est contradictoire. Donc $(u_n)$ est bornée. On montre facilement qu'elle ne peut pas avoir deux valeurs d'adhérence différentes, donc elle converge.
  • Voici ma méthode :
    On montre que $(u_n)$ est bornée comme le fait JLT.
    Ensuite, on utilise la transformée de Fourier :
    $$\dfrac{1}{1-i u_n} = \int_0^{+\infty} e^{-w}e^{iw u_n} dw$$
    et le théorème de convergence dominée pour montrer que $\dfrac{1}{1-i u_n}$ converge, vers une limite non nulle.
    On passe à l'inverse et on récupère la convergence de la suite $(u_n)$.
  • Pourquoi est-ce que tu as besoin de savoir que la suite est bornée ?
  • JLapin
    Modifié (3 Jun)
    Pour justifier que la limite est non nulle et faire le passage à l'inverse.
  • En effet.

  • Quelle est ta preuve stp ?

  • Je n'y aurais pas pensé.
  • JLapin
    Modifié (3 Jun)
    J'ai une preuve. Je souhaite connaître les vôtres.


    Et maintenant, j'aimerais bien connaître la tienne, même (surtout) si c'est une référence.

  • Tony Schwarzer
    Modifié (4 Jun)
    Par convergence dominée, on a $\int_{0}^1 e^{i \omega (x_{n+1}-x_n)} d\omega \longrightarrow 1$ (*).
    On note $\varphi$ l'extractrice permettant d'obtenir les indices $n$ tels que la différence $x_{n+1}-x_n$ soit non nulle. 
    Un calcul montre que :
    $$\int_{0}^1 e^{i \omega (x_{\varphi(n)+1}-x_{\varphi(n)})} d\omega = \frac{e^{i(x_{\varphi(n)+1}-x_{\varphi(n)})}-1}{i(x_{\varphi(n)+1}-x_{\varphi(n)})}$$
    Le numérateur tendant vers $0$, (*) impose que $x_{\varphi(n)+1}-x_{\varphi(n)} \longrightarrow 0$. Par construction de $\varphi$, on a en fait $x_{n+1}-x_n \longrightarrow 0$.
    Enfin, il existe $p \in \mathbb{R}$ tel que $e^{2i \pi x_n} \longrightarrow e^{2i \pi p}$. Si bien qu'on peut trouver une suite d'entiers $(u_n)$ telle que $x_n=u_n+p+o(1)$. Ainsi :
    $$x_{n+1}-x_n = u_{n+1}-u_n + o(1) \longrightarrow 0$$
    Ce qui impose à $(u_n)$ d'être constante à partir d'un certain rang $n_0$. Puis :
    $$x_n=u_{n_0}+p+o(1) \longrightarrow u_{n_0}+p$$
    C'est la convergence recherchée.

    Je n'avais pas vu que tu avais demandé ma preuve.





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