Où est passé le petit o ?

Arnaud_G
Modifié (3 Jun) dans Analyse
Bonjour à tous,
J'ai l'impression d'avoir perdu un petit o dans mes calculs lorsque je repasse au logarithme dans l'exponentielle ...
Lorsque $ {n \to +\infty}$ :
$ e - ( 1+\frac{1}{n} )^n = e - e^{n ln(1+\frac{1}{n})} \newline =e-e^{n(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))} \newline =e-e^{1 - \frac{1}{2n} +o(\frac{1}{n}) } \newline =e(1 - e^{ln(1-\frac{1}{2n})}) \newline =e(1-1 + \frac{1}{2n}) \newline =\frac{e}{2n}$

Réponses

  • JLT
    JLT
    Modifié (3 Jun)
    $1-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ signifie $1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{n} u_n$ où $u_n$ est une suite tendant vers $0$.
    $\ln(1-\frac{1}{2n})=1-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ signifie qu'il existe une suite $v_n$ tendant vers $0$ telle que $\ln(1-\frac{1}{2n})=1-\frac{1}{2n}++\frac{1}{n} v_n$.
    Il n'y a pas de raison que le $u_n$ de ta troisième ligne soit égal au $v_n$ de la ligne suivante. Donc il faut laisser $\ln(1-\frac{1}{2n}) + o(\frac{1}{n})$.
    En d'autres termes, si $a_n=x_n+o(y_n)$ et $b_n=x_n+o(y_n)$, on n'a pas nécessairement $a_n=b_n$.
  • Merci JLT.

    Mais le $o(\frac{1}{n})$ va se retrouver en dehors de l'exp à la fin : $ ... = \frac{e}{2n} + o(\frac{1}{n})$ ?

  • C'est ça le résultat final qu'il faut obtenir.
  • Je viens de piger .... Je n'ai pas utilisé le DL de exp en 0, ce qui m'a amené à la confusion avec le $ln(1-\frac{1}{2n})$.
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