Leçon CAPES histoire des maths

Bonjour,

Il y a une leçon de CAPES assez originale : "Exemples d'approche historique de notions mathématiques enseignées au collège, au lycée."

Je ne suis pas expert du capes mais il me semble que le premier oral, l'oral de leçon est essentiellement un oral de mathématiques. Mais l'intitulé de la leçon semble s'en écarter en suggérant une approche historique, non ?

D'ailleurs je ne vois pas trop ce qui est attendu pour cette leçon ? Il faudrait parler de choses comme les éléments d'Euclide ou les Principia de Newton (pour les dérivées et le calcul intégral) ? Ou plutôt de physique, de cinématique ?

Je vous avoue que j'ai l'impression que cette leçon dévie de l'objectif de l'oral qui est d'évaluer quand même une certaine maitrise des mathématiques non ?

Réponses

  • stfj
    Modifié (2 Jun)
    Bonjour,
    Comme je suis en plein dedans, si j'avais une telle leçon à traiter à l'oral du CAPES, je parlerais de la géométrie du triangle depuis les premières découvertes telles qu'on peut les faire observer dès la 6è en traçant médianes, bissectrices, hauteurs, médiatrices, en passant par la nécessité de la démonstration ("ma figure marche pas"); puis des démonstrations effectives en 5è,4è; un saut dans le temps avec $\cos, \sin, \tan$ (CAHSOHTOA); jusqu'à des résultats un peu chiadés jusqu'en Terminale pour montrer l'intérêt de nouveaux outils introduits tels que les vecteurs, le produit scalaire, etc. On peut arriver au désintérêt des triangles par les mathématiciens professionnels, et les regains d'intérêt à la fin du 19è siècle, puis au début du 21è avec la géométrie moderne du triangle.
    Impossible alors de ne pas faire de mathématiques pour défendre certains points de vue personnels sur la pertinence ou non de transmettre cet enseignement au-delà des simples exigences de base des programmes officiels pour laisser libre cours à sa liberté pédagogique. Et là, t'as intérêt de maîtriser tes connaissances en mathématiques. En effet, comme il est naturel de penser que le candidat a choisi un sujet historique qui lui plaît, si même là, il ne fait pas preuve de maîtrise,...
    Cordialement,
    Stéphane
  • Mais je ne comprends pas exactement. Est-ce qu'il faut savoir refaire l'historique, ou simplement savoir démontrer ces théorèmes ?

    Parce qu'en soi, tous les thèmes mathématiques ont une histoire, que ce soit les équations, l'analyse, etc. 
  • Dom
    Dom
    Modifié (2 Jun)
    Cela me parait un sujet très casse-figure sauf à prendre une leçon toute faite par un préparateur au Capes. J’entends, si l’on sort de la fac tout frais. 
  • stfj
    Modifié (2 Jun)
    On ne demande pas à un candidat d'être un historien des mathématiques. C'est une spécialisation universitaire, il me semble. Juste quelques références utiles pour agrémenter ses cours. Il montre qu'il en a quelques-unes sur un sujet de son choix. Et le reste, il apprendra sur le tas, s'il a envie. Vue la médiocrité actuelle de nombreux élèves, mieux vaut pouvoir leur faire passer le temps parfois avec des histoires. Quant à l'Histoire des mathématiques, c'est une autre histoire :). Bref, un peu de bon sens : le jour de l'oral, il faut que l'histoire tienne la route, y compris d'un point de vue strictement mathématique et non métamathématique. Il est peu probable que dans le jury, il y ait un historien des mathématiques. Le CAPES n'est qu'un certificat d'aptitude (CAP), ce n'est pas un titre universitaire comme l'agrégation.
  • Oui vous avez sans doute raison !
  • nicolas.patrois
    Modifié (2 Jun)
    Ça me semble une leçon difficile si on n’a jamais enseigné. La lecture de textes originaux demande du temps, c’est déjà difficile pour un enseignant, alors pour un élève…
    Approche historique ? Par une courte introduction historique qui se termine par une question que s’est posée le mathématicien et que le chapitre va résoudre.
    Je pense qu’il ne faut pas tomber dans le piège de l’alignement de faits historiques, mais plutôt proposer une demi-douzaine (pas plus) de notions qui amènent une question historique (comme Pythagore et son théorème, les probabilités ou les logarithmes et Napier) et comment tu amènes ça dans les leçons, de niveaux variés. À mon avis, défendre des manières différentes selon la notion sera apprécié (les probabilités comme ci, Pythagore comme ça…) mais pour cela il faut déjà les avoir testées en classe.
    Évelyne Barbin a sorti un livre sur le lycée, je pense qu’on doit en trouver (publié par un IREM) pour le collège.
    https://www.editions-ellipses.fr/accueil/75-faire-des-mathematiques-avec-l-histoire-au-lycee-9782340033153.html
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour

    Ce sont des thèmes nouveaux à l'oral du Capes de mathématiques, mais pourquoi pas ?

    On peut par exemple proposer une approche historique du concept de dérivation
    si important en analyse mathématique et aussi en physique

    ou encore une leçon sur l'apparition des vecteurs en géométrie,
    après l'introduction de ces mêmes vecteurs opérée par les physiciens en mécanique

    Récemment en spécialité math avec mes élèves de Première j'ai abordé la géométrie dans le plan
    qui désormais dans les programmes du secondaire
    est principalement analytique avec les équations réduites et cartésiennes des droites, cercles et lieux géométriques
    J'ai fait une introduction (1/2 heure) historique sur l'évolution de l'enseignement de la géométrie
    les élèves étaient intéressés même si nous n'étions pas en cours d'histoire des sciences

    Je signale que pour le Grand oral du bac en spécialité math
    il est possible de choisir un sujet d'épistémologie (philo et histoire des math)

    Cordialement
  • C'est quand même drôle d'avoir un intitulé de leçon et de se demander ce qu'il faut en entendre. Typique du Capes. Heureusement, les étudiants en préparation bénéficient des traductions fournies par les préparateurs et qui se transmettent comme une tradition orale.

  • L’histoire mathématique (très riche) des problèmes de poursuite, d’interception, d’évasion !
    Une occasion de faire de la cinématique, des équations différentielles, de l’analyse de données.

    La théorie des problèmes et courbes de poursuite commence avec le mathématicien et hydrographe Pierre Bouguer (1698-1758) et le problème du bateau pirate interceptant un navire de commerce (1732). Ses travaux sont à l’origine de nombreux autres: Pierre Louis de Maupertuis, Thomas Simpson, Claude Perrault, Leibniz. 
    Les problèmes de poursuites apparaissent aussi dans les grandes revues: en  février 1894, dans la revue de mathématiques spéciales où il est question d’un jockey qui doit rattraper son cheval, en 1902 et 1920 dans la revue Mathematical Monthly où un chien poursuit un canard dans une mare circulaire. Tu peux aussi mentionner les compétitions modernes comme le problème de poursuite posé en 1959 à la compétition W. Lowell Putnam.

    Avec pas mal de pédagogie, ça peut intéresser des lycéens.



  • Le problème de poursuite de la compétition Putnam (1959)

    Un moineau vole horizontalement en ligne droite 15 mètres sous un aigle et 30 mètres au-dessus d’un faucon. L’aigle et le faucon fondent sur le moineau et l’atteignent simultanément. Le faucon vole deux fois plus vite que le moineau. Quelle distance par court chaque oiseau ? Quelle est la vitesse de l’aigle ?


  • Je tombe sur cette leçon je pense que je fais un carnage !
    Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne règnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ». E. Galois.
  • Je ne connais pas le format du capes actuel, mais c'est bien une leçon d'exercices ? 
    Dans les livres, il y a parfois des activités d'intro avec un peu d'histoire, je pense que c'est un peu l'idée, et que qu'on ne demande pas d'être expert. Exemple, en Terminale, avec les complexes. J'ai vu des trucs sur les tables de logarithme.  

    En regardant vite fait sur le net, y'a ça qui peut peut-être donner des pistes : 
    * livre
    * canopé
    * apmep.
  • Congru
    Modifié (3 Jun)
    La débilité de ce concours continue à battre des records. Quelle idée incroyablement stupide !
    Tant qu'à faire, pourquoi pas un quiz sur Taylor Swift, histoire de ne pas faire de mathématiques dans un concours de recrutement de profs de maths. Ou on peut aussi parler de plomberie ou de boxe anglaise.
    Y a quoi dans la tête des gens qui organisent ce concours ?

    "Histoire des mathématiques" est une spécialité universitaire ce n'est pas quelque chose qui est commun dans tous les parcours universitaire en mathématiques, et ça n'a aucun lien avec la maitrise des mathématiques. Vraiment qui rédige les sujets de ce concours ?
    Vive la France
  • nicolas.patrois
    Modifié (4 Jun)
    L’histoire des mathématiques fait maintenant partie d’une bonne part des programmes du lycée, on peut s’attendre logiquement à ce que ça survienne lors d’épreuves de CAPES.
    Ce qui m’étonne plutôt, c’est que ça soit l’objet d’une leçon au lieu d’être intégré à une leçon quand ça s’y prête et/ou lors des questions du jury.
    Cela dit, je comprends ta remarque, ça fait encore plus de trucs à savoir aux candidats…
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Foys
    Modifié (4 Jun)
    @Congru a écrit:
    Y a quoi dans la tête des gens qui organisent ce concours ?

    Une haine profonde des matières enseignées et surtout celles qui permettent de fonder une pensée précise à partir de briques de base (regarder comment l'enseignement du français a été férocement dégrammatisé parallèlement à la disparition des maths à l'école). Une partie substantielle du monde académique est persuadée que la culture occidentale rend fasciste et que si à terme les enfants se rendent maîtres de ses éléments ils voteront à droite (comble de l'horreur). D'où ces décisions absurdes.

    La raison principale pour laquelle on accorde une confiance très spécifique aux affirmations issues des mathématiques est le fait qu'elles sont démontrées. Le remplacement des démonstrations dans les cursus de maths par une histoire (dont la fiabilité sous sa forme actuelle mérite d'être examinée au passage) des maths sous prétexte de les justifier est une véritable aberration et une injure à la mémoire de tous les savants du passé à qui on prétend rendre hommage et qui ont consacré tant d'heures et d'efforts à trouver les démonstrations qui cautionnent l'oeuvre mathématique.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Pour le coup, c'est clairement un sujet qui demande un travail spécifique, mais qui je pense peut être particulièrement riche. J'ai l'impression aussi que cela laisse pas mal de libertés au candidat. Comme dit plus haut par certains contributeurs, ce n'est pas une épreuve d'histoire des maths, et sans doute peu de membres du jury sont compétent sur cette question. Je pense qu'il y a largement possibilité d'y mettre des maths, mais aussi une réflexion sur l'évolution des mathématiques.


    @Congru : malheureusement, je crains que cela ne soit pas spécifique au CAPES de maths. Il y a l'idée de pouvoir même passer le concours à l'issue de la L3 (autrefois c'était L3+ une année de préparation avec des maths dedans, on n'est plus sur la même chose). 

    Le niveau mathématique est censé être attesté par l'obtention d'une licence, et après ils recrutent sur autre chose. Cela me fait un peu penser, toutes proportions gardées, à certaines écoles de commerce, type EMLyon ou EHDEC (ou des plus pipeau) : tu as une voie d'accès aux universitaires, sous réserve d'avoir une L3 ; c'est comme cela que parfois des étudiants à 05/20 de moyenne dans notre L3 me présentent une lettre d'admission à l'EMLyon, dont j'ai souvent vérifié l'authenticité, sous réserve d'avoir une L3 : des nuls complets en maths, en économie, en informatique et même parfois en langues sont admis dans ce genre d'école, qui ne juge le niveau académique que par l'obtention d'une licence.

    Après, il ne faut pas se leurrer non plus : à quelques exceptions près, le niveau mathématique des candidats au CAPES est désormais particulièrement bas. Si on évaluait que sur du disciplinaire, le jury recruterait quatre fois moins de personnes. On préfère donc cacher la misère. Et ne rêvons pas davantage : les certifiés d'aujourd'hui sont pour nombre d'entre eux les futurs candidats à l'agrégation interne de demain, l'agrégation interne devra s'adapter au niveau des candidats (qui même s'ils se reforment durant la préparation du concours, ont peu de chances en raison de leur travail et vie de famille de beaucoup dépasser le niveau avec lequel ils ont été lauréats du CAPES). Bref il ne restera que l'externe qui sera un concours avec une vraie évaluation.





  • Vassillia
    Modifié (4 Jun)
    Foys a dit :
    @Congru a écrit:
    Y a quoi dans la tête des gens qui organisent ce concours ?

    Une haine profonde des matières enseignées et surtout celles qui permettent de fonder une pensée précise à partir de briques de base

    Ah là là, encore les idées débiles haineuses de nos logiciens illogiques du forum (rappelons quand même qu'ils ne sont pas représentatifs des logiciens même du forum). Les gens qui organisent ce concours sélectionnent de leur mieux en fonction des candidats ou candidates intéressées par le métier et en fonction du travail que les candidats et candidates auront à effectuer. A partir du moment où un peu d'histoire des mathématiques est au programme, il est logique d'interroger sur ce sujet. A partir du moment où ... n'est pas au programme, il est moins important d'interroger sur ce sujet. Je ne vois pas ce qui est difficile à comprendre et en quoi les gens qui organisent ce concours font mal leur boulot.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • D'ailleurs on parle pas mal de la disparition du capes chez les profs ? Je ne suis pas trop l'actualité, mais c'est vraiment probable ou attendu ou c'est un peu une peur plus qu'autre chose ?
  • Vassillia
    Modifié (4 Jun)
    Peu probable, il changera peut-être de nom et sûrement de modalités d’évaluation en fonction des futurs attendus mais je ne vois pas disparaitre un processus de sélection pour recruter du personnel enseignant de l'éducation nationale (comme pour n'importe quel poste).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Vassillia a dit :
    Peu probable, il changera peut-être de nom et sûrement de modalités d’évaluation en fonction des futurs attendus mais je ne vois pas disparaitre un processus de sélection pour recruter du personnel enseignant de l'éducation nationale (comme pour n'importe quel poste).
    En fait on parle plus de privatisation de l'éducation nationale et donc il existerait encore un processus de recrutement, mais plus du tout au niveau national, par exemple chaque établissement ferait son propre processus de recrutement
  • Dans ce cas, c'est possible : un recrutement en local me parait plausible un jour ou l'autre. Il ne s'agit pas pour autant de privatisation au sens où je l'entends habituellement, les fonds pour payer le personnel restants publics.
     C'est en effet un des scénarios possibles proposés par le CSF (Conseil Supérieur des Programmes).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • La nécessité pour un prof de maths de connaître l'histoire des maths ne me semble même pas liée à des impératifs programmatiques. C'est juste un avantage énorme quand on doit enseigner quelque sujet que ce soit.

    Tout d'abord ça permet de facilement motiver les concepts en proposant des tâches qui ont vraiment eu une utilité historique et non pas des "faux problèmes concrets" dont tout le monde perçoit le caractère ad hoc.

    Ensuite, il ne faut pas oublier que les élèves, à leur échelle, revivent intérieurement des crises que les mathématiciens de l'ancien temps ont vécues également. Cauchy avait toujours des gros problèmes avec les nombres négatifs. Quand on sait comment les vieux savants ont réussi à se dépêtrer de ces difficultés, on est également mieux armé pour aider les élèves. Il ne s'agit pas de dire que nos élèves doivent revivre 5000 ans de problèmes mathématiques mais cette histoire nous éclaire sur les difficultés qu'ils rencontrent. 

    En particulier ça permet parfois d'éviter le mépris facile "pff qu'il est nul cet élève, il fait toujours des fautes avec les fractions et les nombres négatifs". Bah oui, comme la plupart des mathématiciens avant le 19ème siècle. Ces sujets sont effectivement très difficiles
  • Pour demander une leçon « d’histoire des mathématiques », le minimum serait déjà qu’on dise ce que c’est censé signifier. 

  • Foys
    Modifié (4 Jun)
    @Cyrano a écrit:

    Ensuite, il ne faut pas oublier que les élèves, à leur échelle, revivent intérieurement des crises que les mathématiciens de l'ancien temps ont vécues également. Cauchy avait toujours des gros problèmes avec les nombres négatifs.

    Des difficultés de quel genre pour un mathématicien de ce calibre?

    1°) Soit $(G,\cdot)$ un groupe dont on désignera par $e$ l'élément neutre et $f: G^2 \to G$ une fonction telle que pour tous $x,y,z\in G$, $f(x,yz) = f(x,y)f(x,z)$ et $f(xy,z) = f(x,z)f(y,z)$ (propriété de "distributivité" à gauche et à droite). Alors (i) pour tout $t$ dans $G$, $f(e,t) = f(t,e) = e$ et (ii) pour tous $x,y$ dans $G$, $f(x^{-1}, y^{-1}) = f(x,y)$.

    Preuve: (i) $e$ est le seul élément de $G$ solution de l'équation "$x = x^2$" d'inconnue $x$ (car si $x=x^2$, $e = x^{-1} x = x^{-1}(xx) = (x^{-1}x) x = ex = x$). Or $f(e,t) = f(ee,t) = f(e,t) f(e,t)$ et $f(t,e) = f(t,ee) = f(t,e) f(t,e)$.

    (ii) $\begin{align} f(x^{-1},y^{-1}) & = f(x^{-1},y^{-1}) e = f(x^{-1},y^{-1}) f(e, y) = f(x^{-1},y^{-1}) f(x^{-1} x,y )= f(x^{-1}, y^{-1}) \left [f(x^{-1},y) f(x,y) \right ] \\ & = \left [ f(x^{-1},y^{-1}) f(x^{-1},y) \right ] f(x,y) = f(x^{-1},y^{-1}y) f(x,y) = f(x^{-1},e) f(x,y) = ef(x,y) = f(x,y) \end{align}$

    Lorsque $(G,\cdot)$ est $(\Z,+)$ (cf 2° ci-après) et $f$ est la multiplication $(x,y)\in \Z^2 \mapsto x \times y$, on retrouve la relation $(-x) \times (-y) = x \times y$ pour tous $x,y\in \Z$, qui a fait tant couler d'encre (surtout dans l'univers pédagogiste).

    2°) Qui est $\Z$? C'est le quotient de $\N^2$ par la relation $(a,b), (c,d) \mapsto a+d = b+c$ (édité) qui est d'équivalence (ceci est en fait la reformulation de l'idée datant du moyen-âge consistant à représenter les dettes par des nombres négatifs). On peut facilement vérifier que les opérations $\oplus:= (a,x),(b,y)\mapsto (a+b,x+y)$ et $\otimes:= (a,x),(b,y) \mapsto (ab+xy, ay+bx)$ passent au quotient, la première induisant sur $\Z$ une loi de groupe et la deuxième, une fonction ayant entre autres propriétés celles annoncées au 1°).

    Voilà voilà, le contenu scientifique du mémoire de didactique de master sur les monstruosités des nombres négatifs expédié (exhaustivement) en 13 lignes B), pour le reste des 60 pages de dissertation baratinière requises demandez à votre encadrant de stage.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ah quel plaisir de resumer l'histoire mouvementee de l'equation du troisieme degre, dont on pourrait tirer une serie televisee!
  • Cyrano
    Modifié (4 Jun)
    @Foys : L'exemple des nombres négatifs illustre parfaitement le fait qu'une démonstration mathématique rigoureuse n'est pas nécessairement suffisante pour résoudre les difficultés entourant un concept. Ta preuve (du moins dans le cas de $\Z$) est connue depuis MacLaurin (1698 -- 1746). Pourtant de grosses difficultés, notamment avec la règle des signes, subsistent postérieurement. Par exemple Cauchy n'arrive toujours pas unifier la droite réelle et la voit comme superposition de deux demi-droites, avec au passage un double zéro : le zéro + ($0^+$) et le zéro - ($0^-$). Il considère aussi l'opération $-$ comme étant unaire, à savoir $x \mapsto -x$ et passe à la binarité sans explication (i.e. sans comprendre $a-b$ est une abréviation de $a+ (-b)$). Par ailleurs il continue d'utiliser un langage métaphorique peu clair pour distinguer les nombres positifs ("les vrais nombres" selon lui) des nombres négatifs ("les quantités").

    Il faut attendre Hemann Hankel (1839--1873) pour avoir la première présentation propre et complète des nombres négatifs.
    Si ce sujet t'intéresse, je recommande l'excellent article de G. Glaeser intitulé "épistémologie des nombres relatifs".


  • raoul.S
    Modifié (4 Jun)
    Il y a une coquille @Foys, c'est $a+d = b+c$.
  • Bien vu! Merci @raoul.S .
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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