Une courbe définie par ses tangentes

Bonjour, 

Un exercice tiré de mon cours (Analyse B1, CNAM): donner l’équation et le nom de la courbe $\mathscr{C} \equiv (x(t), y(t))$ telle que toute tangente à $\mathscr{C}$ qui n’est pas horizontale ou verticale coupe l’abscisse et l’ordonnée en respectivement 
\begin{equation}
x_1=t-2(\csc t - \cot t) \\
y_1=2-t(\csc t+ \cot t)
\end{equation}
où csc et cot désignent les fonctions cosécante et cotangente.

Réponses

  • C'est un calcul d'enveloppe de droites. Avec l'aide d'un logiciel je trouve $x=t-\sin t$ et $y=1-\cos t$, c'est une cycloïde.
  • Chaurien
    Modifié (2 Jun)
    Je rappelle le plan de la solution. L'équation de la tangente est : $\frac x{x_1(t)}+\frac y{y_1(t)}=1$, de la forme : $a(t)x+b(t)y+c(t)=0$. Comme dit JLT, il s'agit de déterminer l'enveloppe de cette famille de droites. La méthode consiste à résoudre le système : $a(t)x+b(t)y+c(t)=0, a'(t)x+b'(t)y+c'(t)=0$, aux inconnues $x$ et $y$, avec $t$ pour paramètre. 
    Dans le cas présent, il est vrai que les calculs apparaissent compliqués, et si l'on dispose d'un logiciel pour les faire à notre place, autant en profiter. Si les étudiants du CNAM ont un tel exercice lors d'un examen, il est possible qu'ils ne puissent utiliser un tel logiciel.
    Remarque. Bravo de ressusciter la cosécante, bêtement supprimée en France au début du XXe siècle, que nos anciens notaient coséc auparavant, et qu'il nous faudra désormais noter csc pour obéir à l'Oncle Sam.
  • Bonjour,
    le mélange de fonctions polynomiales (fussent-elles de degré $1$) et de fonctions trigonométriques ne m'a pas incité à faire les calculs ! Cela dit, je tiens à rappeler que Sécante et Cosécante sont également les prénoms des jumelles du savant Cosinus (et que je m'obstinerai à les abréger sous la forme sec et cosec, cela dût-il déplaire à l'Oncle Sam).

    Sécante : prénom féminin (in Dictionnaire de Mathématiques, Lucien Chambadal) ; même remarque sub verbo Cosécante.
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