$\displaystyle\int _0^1\frac{x^{n}}{1+x^2}dx=\cdots$

gebrane
Modifié (1 Jun) dans Analyse
Bonjour,
Amusement Calculer ( sans les fonctions spéciales)
$$\int _0^1\frac{x^{n}}{1+x^2}dx$$

vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


Réponses

  • AlainLyon
    Modifié (1 Jun)
    $1+x^2=(1-ix)(1-ix)$ et ensuite on développe la fraction rationnelle de $\mathbb{C}(X)$ en éléments simples et on intègre le machin sur le segment [0,1] avec une variable muette réelle.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • JLT
    JLT
    Modifié (1 Jun)
    $I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1}$ permet d'obtenir
    $\displaystyle I_{2p}=(-1)^p\left(\frac{\pi}{4}-\sum_{k=1}^p \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\right)$
    $\displaystyle  I_{2p+1}=\frac{(-1)^p}{2}\left(\ln 2-\sum_{k=1}^p \frac{(-1)^{k-1}}{k}\right)$.
  • gebrane
    Modifié (1 Jun)
    Oui
    Par exemple $I_{2n+1}=\frac 12\int_0^1 \frac {x^n}{1+x} dx=\frac 12 (-1)^n \int_0^1 \frac {(-x)^n-1 +1}{1+x} dx =\frac 12 (-1)^n \int_0^1 \frac 1{1+x} + \frac 12 (-1)^n \int_0^1\frac {(-x)^n-1 }{1+x} dx =...$
    ( $(-x)^n-1=(-x-1)((-x)^{n-1} +...+1)$)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Piteux_gore
    Modifié (1 Jun)
    Pour $n = 0, 1, 2$ c'est facile... Après, il y a $I_n + I_{n - 2} = 1/(n - 1)$ :
    $I_0 = \pi/4, I_1 = \ln \sqrt 2, I_2 = 1 - \pi/4, I_3 = 1/2 - \ln \sqrt 2$, ...
    Au siècle du mensonge universel, dire la vérité devient un acte révolutionnaire. (George Orwell)
  • Bonjour.

    Pour n impair, le changement de variable $t=x^2$ donne directement le résultat.
    Pour n pair, $n=2p$, on remarque que $x^n = (x^2)^p = [(1+x^2)-1]^p$ et on développe puis simplifie.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Comment gerard le cas impair donne le résultat directement?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Disons qu'il reste un peu de calcul : 
    $\displaystyle \int_0^1 \frac {x^{2p+1}}{x^2+1}\ dx =\frac 1 2\int_0^1 \frac {x^{2p}}{x^2+1}\ 2x dx =\frac 1 2\int_0^1 \frac {t^{p}}{t+1}\ dt =\frac 1 2 \int_0^1 \frac {t^{p}-1}{t+1}+\frac 1 {t+1}\ dt = ...$

    Mon "directement" voulant dire qu'on ne fait pas de récurrence.





  •  Cela ne marche pas. Regarde mon message
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • " Cela ne marche pas" ??
    J'avais raté ton message, qui fait  au départ ce que j'ai proposé, mais est compliqué et faux ($(-x)^n$ n'a aucune raison de remplacer $x^n$, c'est $2n$ qui est pair, $n$ on ne sait pas). Alors que la factorisation de $t^n-1$ par $t-1$ est un classique.

    Cordialement.
  • J'ai écrit que $t^n=(-1)^n (-t)^n$ où est l'arnaque
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ah, j'ai lu trop vite. Pourquoi compliquer ainsi ?
    Et ce qui ne marche pas, c'est quoi ? Ta méthode compliquée ?
  • gebrane
    Modifié (1 Jun)
    gerard0 a dit :
    Disons qu'il reste un peu de calcul : 
    $.... =\frac 1 2 \int_0^1 \frac {t^{p}-1}{t+1}+\frac 1 {t+1}\ dt = ...$


     gerard0 a dit :
    " Cela ne marche pas" ??
     Alors que la factorisation de $t^n-1$ par $t-1$ est un classique.


     Je ne trolle pas gerard, cette façon ne marche, car on veut éliminer le terme du dénominateur, Bon je ne vais pas insister
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ah oui, tu as raison, j'étais sur une factorisation par $t+1$ alors que la factorisation est par $t-1$.
    Donc on est ramené à une division de $t^p$ par $t+1$ qui se fait bien, mais c'est devenu plus "lourd". À moins de connaître l'identité $x^n=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+...+(-1)^{n-1}) +(-1)^n$.
    Merci de ta rectification.
  • Pour compléter la remarque de JLT : en posant le changement de variable $x = \mathrm{tan}(y)$ on se ramène à des intégrales "type wallis" : 

    $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{tan}^n (x) dx $$


  • On peut montrer que pour $|y|<1$, en posant:
    \begin{align}A_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx\end{align}
    que:
    \begin{align}\sum_{n=0}^\infty A_ny^n=\frac{\pi}{4(1+y^2)}+\frac{y\ln 2}{2(1+y^2)}-\frac{y\ln(1-y)}{1+y^2}\end{align}


  • Bonsoir

    On pose $I(n) = \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx$

    on montre que I(n) décroît avec n en calculant la différence finie
    $I(n+1) - I(n) = \int_0^1\frac{x^n(x-1)}{1+x^2}dx$ qui est négative
    puisque le binôme x - 1 sous le signe intégral est négatif

    en fait $0 < I(n) < \frac{\pi}{4}$ puisque I(0) = pi/4

    on peut expliciter I(n) en fonction de n sous forme de série rationnelle 
    après avoir développé en série polynomiale $\frac{1}{1+x^2}$ pour 0 < x < 1

    il vient $I(n) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+7} +......$

    pour n = 0 on vérifie le résultat $\frac{\pi}{4}$
    et lorsque n tend vers l'infini I(n) converge vers 0+

    Cordialement


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