Congruence : pb de Terminale

Nan75
Nan75
Modifié (May 2024) dans Arithmétique
Bonjour à tous,

voici un exercice de terminale que je n'arrive tout simplement pas à résoudre. L'énoncé :

Soient 2 entiers relatifs n et p vérifiant les relations :
np ≡ 6 (modulo 10) et p ≡ 2 (modulo 5)

En déduire n ≡ 3 (modulo 5).

Je suis incapable de voir quelle formule en Terminale permet de déduire ce résultat. Je ne vois pas non plus comment utiliser une table de congruence pour obtenir la réponse. Les modulos ne sont pas les mêmes, comment traiter ce cas ??

Si vous avez une idée... Merci !



Réponses

  • zygomathique
    zygomathique
    salut

    il me semble que que $ p \equiv 2  [5] \iff \exists k \in  \Z : p = 5k + 2$

    que veut dire alors $ np \equiv 6 [10] $ ?

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • lourrran
    lourrran
    si $np=6$ modulo 10 , alors $np=1$ modulo 5.
    Maintenant les modulos sont les mêmes, et ça semble être un point 'utile' pour toi.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • JLT
    JLT
    Si $u$ divise $v$, et si $a\equiv b\,[v]$, alors $a\equiv b\,[u]$.
  • Nan75
    Nan75
    Pour info : exercice 13 point 3.c page 476 100% EXOS (2021) chez Hatier
  • Nan75
    Nan75
    Modifié (May 2024)
    Merci merci à @JLT et @lourrran, j'ai pu finir l'exercice grâce à vous. Je n'ose pas dire combien de temps j'ai passé là-dessus... Bonne journée à vous
  • zygomathique
    zygomathique
    certes mais tu n'as simplement fait qu'appliquer deux résultats dont tu ne connais pas la preuve ...  :'( et tiré du chapeau 

    alors qu'avec :   $p \equiv 2  [5] \iff \exists k \in  \Z : p = 5k + 2 $  et  $ np \equiv 6 [10] \iff \exists q \in \Z : np = 10 q + 6$ on déduit immédiatement que 

    $5nk + 2n = 10q + 6 \iff 5(nk - 2q) = 2(3 - n)$

    et le lemme de Gauss permet de conclure que 5 divise n - 3 $ \iff n \equiv 3 [5]$

    et ça c'est faire des math en utilisant que les outils de math de terminale math expertes (définition de la divisibilité + lemme de Gauss)

     ;)  

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Nan75
    Nan75
    Ah voilà la belle démonstration mathématique qui m'éclaire totalement, merci @zygomathique. Je ne rentre pas dans les détails, mais je m'étais fort embrouillé. Peu importe les justifications, merci de votre aide à tous
  • JLT
    JLT
    J'écris plutôt $np\equiv 6\,[10] \iff 10\mid np-6\implies 5\mid np-6\implies np\equiv 6\equiv 1\,[5] \implies 3np\equiv 3\,[5]$.
    Or $3p\equiv 3\times 2=6\equiv 1\,[5]$, d'où $n\equiv 3\,[5]$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    $np\equiv 6\mod{10}$ entraîne $np=6+10k$ ce qui entraîne que  $np\equiv 1\mod{5}$
    Le problème revient à trouver l'inverse multiplicatif de $2$ modulo $5$.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Ou tout simplement, $n \equiv 0$ ou $1$ ou $2$ ou $3$ ou $4$ modulo $5$ (on fait un tableau de congruences).
    Comme $p \equiv 2 \pmod 5$, alors les congruences possibles de $np$ modulo $5$ sont : $np \equiv 0$ ou $2$ ou $4$ ou $1$ ou $3$. 
    Or, $np \equiv 6 \pmod {10}$ et comme l'a expliqué Fin de partie ci-dessus, on en déduit que $np \equiv 1 \pmod 5$. 
    Donc $n \equiv 3 \pmod 5$ d'après le tableau de congruences de $np$ modulo $5$.  
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • hx1_210
    hx1_210
    Il faut comprendre que la congruence est le reste dans une division euclidienne donnée.

    Tous les nombres qui ont le même reste dans la division euclidienne par $d$ sont congrus à $d$. Ils forment une même classe d'équivalence.

    Ce n'est pas toujours clair dans les cours de terminale mais c'est pourtant fondamental.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (May 2024)
    Il faut savoir que $p \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow 2p \equiv 4 \pmod {10}$ (en multipliant tout par $2$).
    Alors modulo $10$, on a : $np \equiv 6, 2np \equiv 12$ donc $4n \equiv 12$, puis $2n \equiv 6 \pmod 5$ (en divisant tout par $2$), puis $n \equiv 3 \pmod 5$ (en divisant par $2$ encore, car $2$ est premier avec $5$).
  • JLT
    JLT
    Julia Paule a dit :
    Alors modulo $10$, on a : (...) $4n \equiv 12$, puis $n \equiv 3$ (en divisant tout par $4$)
    Pour $n=8$ on a $4n\equiv 12\,[10]$ mais $n \not\equiv 3\,[10]$.
  • zeitnot
    zeitnot
    Et oui, le piège de la division avec les congruences.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • zygomathique
    zygomathique
    plus précisément : 

    quand je vois l'argument "car 2 est premier avec 5" pour justifier que $ 2n \equiv 6 [5] \Longrightarrow n \equiv 3 [5]$

    je suis étonné de ne pas voir écrit l'argument "car 2 est premier avec 10" pour justifier que $4n \equiv 12 [10] \Longrightarrow 2n \equiv 6 [5]$

    il est toujours dangereux de diviser avec une relation de congruence (j'en ai vu des erreurs) surtout quand le diviseur est un diviseur du modulo comme c'est le cas ici ...

    et comme le soulève @JLT on peut remarquer qu'ici on a : $4n \equiv 12 [10] \iff 4(n + 5) \equiv 12 [10]$

    @hx1_210 : certes oui mais en terminale ils ne savent pas ce qu'est une relation d''équivalence

    et ils comprennent à peine de même la notion des différentes mesures d'un angle orienté (pourtant source de très beaux pb de géométrie élémentaire de calcul d'angles)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • hx1_210
    hx1_210
    @zygomatique rien n'oblige à expliquer dans le détail formaliserce qu'est une relation d'équivalence et un espace quotient mais on doit quand même aborder le concept.

    C'est le même problème avec les fractions en collège d'ailleurs.
  • lourrran
    lourrran
    A mon avis, si l'auteur de l'exercice veut une solution 'sophistiquée', il propose des trucs modulo 7 et 14.
    Ici, on est modulo 10. 
    Un nombre égal à 2 modulo 5, il finit par 2 ou 7 ; un nombre égal à 6 modulo 10, il finit par 6.
    $2n$ finit par 6 ssi $n$ finit par 3 ou 8 ; $7n$ finit par 6 ssi $n$ finit par 8 
    Donc dans les 2 cas, $n$ doit finir par 3 ou 8 
    Donc $n$=3 modulo 5

    Ou alors, c'est un exercice à tiroir. Il y a la solution que je viens de donner pour ceux qui n'ont pas appris le cours, et la belle solution pour les autres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (June 2024)
    @JLT J'avais (heureusement) rectifié entretemps. Il y avait encore plus simple en passant tout en congruence modulo $5$ dès le départ.
    @zygomatique Cela ne me gêne pas de multiplier ou diviser toute une relation de congruence : $a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow ka \equiv kb \pmod {kn}$.
    En règle générale, je n'aime pas interdire des choses parce que les élèves peuvent faire des confusions, je préfère que les élèves comprennent ce qu'ils font.
    Par contre, si $k$ et $n$ sont premiers entre eux, alors $ka \equiv kb \pmod {n} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod {n}$.
    On a aussi : $a \equiv b \pmod {kn} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$, la réciproque est bien sûr fausse.
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