Fourier dans $ L^p$

Il faut comprendre l'énoncé dans le sens suivant

Théorème : Soient $1\leq p<2(d+1)/(d+3)$ et $S(\mathbb{R}^d)\subset L^p(\mathbb{R}^d)$ l'espace de Schwartz. Soit $T:S(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{S}^{d-1})$ l'opérateur défini par $Tf:=\hat{f}_{|\mathbb{S}^{d-1}}$ (c'est bien défini puisque $\hat{f}$ est une fonction continue donc appartient bien à $L^2(\mathbb{S}^{d-1})$). Alors $\|Tf\|_{L^2(\mathbb{S}^{d-1})}\leq c_p\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$ pour tout $f\in S(\mathbb{R}^d)$.

Puisque $S(\mathbb{R}^d)$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^d)$, il s'ensuit que $T$ se prolonge de manière unique en un opérateur borné $L^p(\mathbb{R}^{d})\to L^2(\mathbb{S}^{d-1})$. Dès lors, on peut définir $\hat{f}\in L^2(\mathbb{S}^{d-1})$ pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$ comme étant simplement l'image de $f$ par l'opérateur qui prolonge $T$.

Bah,  toute fonction f dans $L^p$, où $1≤p≤∞$, induit une distribution tempérée $T_f$ et que la transformée de Fourier de $T_f$ est elle-même une distribution tempérée

bon révise ton cours , une fonction localement intégrable est identifiée à une distribution régulière, ici tu  peux l'identifier à une distribution tempérée

mathspe a dit :

Ma question comment définir Fourier dans $L^p$ avec $ p>2$.

J'ai répondu clairement à cette question, on définit Fourier dans $L^p$  en tant que distribution tempérée.
Je pense que @Renart est d'accord

Je ne sais pas, je ne comprend pas ce que dit mathspe. Dans son théorème $p<2$, donc la définition de la transformation de Fourier pour $p>2$...