Triplets pythagoriciens

mkmir
Modifié (30 May) dans Arithmétique
Bonjour
Je vous envoie en fichier joint une capture d'écran qui montre qu'on peut trouver les triplets primitifs grâce à une formule où les trois nombres sont des fonctions d'une seule inconnue : a. Et qu'il est donc possible d'en générer une infinité... 
Peut-être que cette formule existe déjà (je suis simple amateur mais passionné). Autrement je la rendrais publique si besoin...
Et merci encore
M.K.

Réponses

  • Bonjour.

    Ta formule est sans doute intéressante, mais comme tu ne la donnes pas, difficile de savoir si elle est connue. D'autre part, s'il faut en croire ton affichage, elle ne donne pas tous les triplets primitifs.

    Cordialement.
  • Merci pour ta réponse
    En fait, je connais uniquement la formule avec deux paramètres (u, v). Et comme ma formule n'en utilise qu'un seul, j'ai pensé qu'elle pourrait être intéressante... à la condition qu'aucune autre formule n'utilise un seul paramètre, voilà quoi...
  • La seule formule que je connais et qui donne tous les triplets primitifs, est triple et utilise les trois matrices de Roberts.

    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Oui quelqu'un m'a déjà indiqué cette formule qui a besoin d'un triplet pour en générer d'autres. 
    Pour ce qui me concerne, X, y et z (x^2 + y^2 == z^2) ne dépendent que d'une variable "a".
    J'ai généré ce tableau en variant simplement "a"...
  • La formule $(2k+1, 2k^2+2k, 2k^2+2k+1)$ est connue depuis les pythagoriciens.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Et d'autres aussi. Mais elles ne donnent pas non plus tous les triplets primitifs.
  • Non, mais cela semble être celle de mkmir !
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Oui, c'est ce qu'il me semblait avoir compris de ton message. Sauf qu'il n'y a pas de k chez Mkmir, seulement un a ;)

    Cordialement.
  • Théorème de Roberts (1977) ? (voir la page de Villemin postée plus haut). Le résultat était déjà connu en 1934, établi par Berggren.
  • mkmir
    Modifié (30 May)
    "La formule $(2k+1, 2k^2+2k, 2k^2+2k+1)$ est connue depuis les pythagoriciens."

    Oui c'est celle-ci. mais je ne suis pas déçu, loin de là, je suis plutôt ravi d'avoir croisé cette belle formule par moi-même, et au hasard, en passant, comme dirait l'autre.  Un peu comme si je croisais des gens de l'époque de Pythagore...
    En vérité, jy suis tompbé dessus pendant que je me cassais la tête sur le formule ci-dessous (que je sais démontrer, où n, a, b, c et d sont des entiers naturels )


  • mkmir
    Modifié (30 May)
    Encore merci
  • LOU16
    Modifié (1 Jun)
    Bonjour,
     Il n'est peut-être pas inutile de mentionner ce  paramétrage bien connu de l'ensemble  des "triplets pythagoriciens primitifs":
    $$\text{ Si }\:\mathcal E:=\Big\{(a,b,c) \in \N^3\mid a^2+b^2= c^2,\:a\wedge b \wedge c=1, b\text{ pair }\Big\},$$
    $$\text{alors: }\:\mathcal E= \Big\{ \left(|t^2-u^2|, \:2tu,\: t^2+u^2\right) \mid (t,u)\in \N^2,\: t\wedge u =1, \:tu \text{ pair }\Big\}$$
    L'ensemble de triplets proposé par @mkmir n'est autre que la partie de $\mathcal E$ formée par les $(t,u) \in \N^2 $ tels que $u =t+1.$
  • Merci @LOU16 , et merci au hasard qui m'a fait rencontrer cette belle formule, même incomplète n'est-ce pas
  • Bonjour,

    Un truc sympa moins connu avec les triplets Pythagoriciens consiste à construire une infinité de triplets primitifs à partir d'un seul en transportant la structure grâce au théorème de Bézout.

    Al-Kashi
  • « En transportant la structure » : quelle structure ? Comment la transporter ?
  • Guego
    Modifié (6 Jun)
    J'imagine qu'Al-Kashi fait allusion à la méthode qui consiste à partir d'un triplet pythagoricien et à appliquer des transformations linéaires à coefficients entiers qui conservent la forme quadratique $x^2+y^2-z^2$. Cf https://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples#Pythagorean_triples_by_use_of_matrices_and_linear_transformations et https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_primitive_Pythagorean_triples


  • Al-Kashi
    Modifié (7 Jun)
    Bonjour,

    Merci pour le lien Guego, je ne connaissais pas cette méthode qui consiste à obtenir trois triplets "enfants" à partir d'un seul.
    La méthode dont je parle est différente et permet d'obtenir une infinité de triplets "enfants" à partir d'un seul:

    Notons $c^2=a^2+b^2$ un triplet pythagoricien primitif. Le théorème de Bézout permet d'écrire $c=au_k+bv_k$ avec $u_k=u_0+bk$ et $v_k=v_0-ak$. On a alors $ (au_k+bv_k)^2=a^2+b^2$ que l'on peut réécrire $a^2(u_k^2-1)+2abu_kv_k+b^2(v_k^2-1)=0$. le théorème de Gauss implique donc l'existence d'entiers tels que $ai_k=(v_k^2-1)$ et $bj_k=(u_k^2-1)$. Ainsi en réinjectant et en simplifiant par $ab$, on a alors $aj_k+2u_kv_k+bi_k=0$. En multipliant alors par $i_kj_k$ on obtient alors $ai_kj_k^2+2u_ki_kv_kj_k+bj_ki_k^2=0$, d'où $(v_k^2-1)j_k^2+2u_ki_kv_kj_k+(u_k^2-1)i_k^2=0$ soit alors $(u_ki_k+v_kj_k)^2=j_k^2+i_k^2$

    Ainsi, à partir du triplet primitif $(c,a,b)$, on a obtenu les triplets primitifs $(u_ki_k+v_kj_k,j_k,i_k)$, à une division par $2$ près selon la parité de $k$. On a plus précisément:

    $u_ki_k+v_kj_k=\dfrac{(u_0+bk)((v_0-ak)^2-1)}{a}+\dfrac{(v_0-ak)((u_0+bk)^2-1)}{b}$
    $i_k=\dfrac{(v_0-ak)^2-1}{a}$
    $j_k=\dfrac{(u_0+bk)^2-1}{b}$

    Par exemple, en partant de $5^2=4^2+3^2$ et $5=4\times2+3\times(-1)$, on obtient:


    $u_ki_k+v_kj_k=\dfrac{(2+3k)((-1-4k)^2-1)}{4}+\dfrac{(-1-4k)((2+3k)^2-1)}{3}$
    $i_k=\dfrac{(-1-4k)^2-1}{4}$
    $j_k=\dfrac{(2+3k)^2-1}{3}$

    Les premiers triplets obtenus sont $(-10;8;6), (-29;21;20), (-58;42;40), (-97;72,65),(110,96,-146)...$

    Al-Kashi















  • Dans l'exemple particulier que j'avais publié, on m'avait indiqué l'absence de certains triplets primitifs. Et ça m'a permis de chercher à généraliqser ma formule.
    Pour l'heure ça donne ceci : (ne faites pas attention aux entiers négatifs, je saurai les supprimer.
    Et d'avance merci pour toutes vos remarques. 
    PS : je ne donne pas la formule tout de suite, parce que j'ai peur qu'on me dise que c'est déjà fait depuis tant et tant, et que ça me fasse alors arrêter mes petites recherches qui m'apportent du bonheur, notamment de savoir que je suis passé par là où sont passés des milliers de chercheurs, et surtout les plus grands...




  • dirikly
    Modifié (12 Jun)
    Bonjour

    voici la liste des(TP)triplets pythagoriciens inférieurs à 100 rangés dans l'ordre croissant :
    $L_1$
    (3 ,4, 5)(5, 12, 13)(6 ,8 ,10)(7, 24 ,25)(8 ,15 ,17)(9 ,12 ,15)(9, 40 ,41)(10 ,24 ,26)(11 ,60 ,61)(12 ,16 ,20)(12 ,35 ,37)(13 ,84, 85)(14, 48, 50)  (15, 20,25)(15, 36, 39)(16, 30 ,34)(16 ,63 ,65)(18 ,24 ,30)(18, 80, 82)(20, 21 ,29)(20, 48 ,52)(21 ,28 ,35)(21 ,72 ,75)(24 ,32 ,40)(24 ,45, 51)(24 ,70 ,74)(25, 60, 65)(27 ,36 ,45)(28 ,45 ,53)(30 ,40 ,50)(30 ,72 ,78)(32 ,60 ,68)(33 ,44 ,55)(33, 56 ,65)(35 ,84 ,91)(36 ,48 ,60)(36 ,77 ,85)(39 ,52 ,65)(39 ,80 ,89)(40 ,42 ,58)(40 ,75 ,85)(42 ,56 ,70)(45, 60 ,75)(48 ,55 ,73)(48 ,64 ,80)(51 ,68 ,85)(54, 72 ,90)(57 ,76 ,95)(60 ,63, 87)(65, 72 ,97)

    puis la liste des TPP(Triplets Pythagoriciens Primitifs)

    $L_2$

    (3 ,4 ,5)(5, 12 ,13)(7 ,24 ,25)(8 ,15 ,17)(9, 40, 41)(11 ,60 ,61)(12 ,35 ,37)(13 ,84 ,85)(16 ,63 ,65)(20 ,21 ,29)(28 ,45 ,53)(33 ,56 65)(36 ,77 ,85)(39 ,80 ,89)(48 ,55 ,73)(65 ,72 ,97)

    et on peut déduire $L_1$ de $L_2$.
  • Grand merci, @dirikly
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