Fourier dans $ L^p$
Réponses
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Il faut comprendre l'énoncé dans le sens suivant
Théorème : Soient $1\leq p<2(d+1)/(d+3)$ et $S(\mathbb{R}^d)\subset L^p(\mathbb{R}^d)$ l'espace de Schwartz. Soit $T:S(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{S}^{d-1})$ l'opérateur défini par $Tf:=\hat{f}_{|\mathbb{S}^{d-1}}$ (c'est bien défini puisque $\hat{f}$ est une fonction continue donc appartient bien à $L^2(\mathbb{S}^{d-1})$). Alors $\|Tf\|_{L^2(\mathbb{S}^{d-1})}\leq c_p\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$ pour tout $f\in S(\mathbb{R}^d)$.
Puisque $S(\mathbb{R}^d)$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^d)$, il s'ensuit que $T$ se prolonge de manière unique en un opérateur borné $L^p(\mathbb{R}^{d})\to L^2(\mathbb{S}^{d-1})$. Dès lors, on peut définir $\hat{f}\in L^2(\mathbb{S}^{d-1})$ pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$ comme étant simplement l'image de $f$ par l'opérateur qui prolonge $T$. -
J'ai bien compris, ton explication. Merci.
Ma question comment définir Fourier dans $L^p$ avec $ p>2$. -
Bah, toute fonction f dans $L^p$, où $1≤p≤∞$, induit une distribution tempérée $T_f$ et que la transformée de Fourier de $T_f$ est elle-même une distribution tempéréeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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oui@gebrane, mais dans l'énoncé du théorème ce n'est plus une distribution.
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bon révise ton cours , une fonction localement intégrable est identifiée à une distribution régulière, ici tu peux l'identifier à une distribution tempéréeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Autre façon de voir les choses. Puisque $p\in [1;2]$ on peut découper toute fonction $f\in L^p$ comme $f= g+h$ où $g\in L^1$ et $h\in L^2$. On pose alors $\hat f = \hat g + \hat h$, le membre de droite est bien défini puisque l'on sait donner un sens à la transformation de Fourier $L^1$ et $L^2$. Par injectivité de la transformation de Fourier on montre facilement que cette définition ne dépend pas du découpage choisi, ce qui assure d'avoir une "bonne" définition.
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Je crois que la quantité à gauche est finie car:
Selon l'inégalité de Hausdorff-Young, la transformée de Fourier transforme $ L^p(\mathbb{R}^n) $ en $ L^q(\mathbb{R}^n)$ car $ \|\hat{f}\|_{L^q(\mathbb{R}^n)} \leq C \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$.
et on l'intègre sur une partie de mesure nulle? -
mathspe a dit :
Ma question comment définir Fourier dans $L^p$ avec $ p>2$.
Je pense que @Renart est d'accord
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@Renart. Pour $p>2$ il n'y a pas une définition classique de Fourier , mais il y a une définition au sens des distributions tempérées.
D'après l'inégalité de Hausdorff-Young on montrer que si $ p,q\geq1: ||\hat{f}||_q\leq||f||_p$ alors nécessairement $1\leq p\leq 2$ et $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
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