Majoration par des valeurs singulières

Bonjour,
si les $\lambda_i$ et les $\mu_i$ sont respectivement les valeurs propres et les valeurs singulières d'une matrice carrée complexe, y a-t-il un moyen simple d'établir que
$$\displaystyle\prod(1+|\lambda_i|)\leqslant\prod(1+\mu_i)$$

Merci !

Réponses

  • noix de totos
    Modifié (28 May)
    Salut,

    Tu peux essayer les inégalités de Weyl sous la forme suivante : 

    Soit $\varphi : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ telle que $\varphi(0) := \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 0$ et telle que la fonction $x \mapsto \varphi(e^x)$ soit convexe sur $\mathbb{R}_+^*$. Alors
    $$\forall k \in \{1, \dotsc , n \}, \quad \sum_{j=1}^k \varphi \left( |\lambda_j|^2 \right) \leqslant \sum_{j=1}^k \varphi \left( \sigma_j^2 \right).$$

    Avec $\varphi : x \mapsto \log \left( 1 + \sqrt x \right)$, sauf erreur.

  • Grand merci, noix de totos !
  • Salut John_john,

    J'ai oublié les références : 

    Hermann Weyl, Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35 (1949), 408--411.

    Il y a aussi un théorème très proche dans sa formulation, et peut-être un chouïa plus pratique à utiliser, dans le livre :

    R. A. Horn & C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge Univ. Press, 1991, Theorem 3.3.13 page 175.

  • Merci, noix de totos : j'avais trouvé ta seconde référence mais non pas la première ! Je suppose d'ailleurs que la formule $|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|=\sigma_1\sigma_2\dots\sigma_n$ ne peut suffire mais qu'il faut aussi utiliser le fait que $|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_k|\leqslant\sigma_1\sigma_2\dots\sigma_k$ pour tout $k$, lorsque ces scalaires sont ordonnées par ordre décroissant (transformer une simple égalité en inégalité serait miraculeux :) )
  • Oui, tout à fait.
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