Convergence uniforme d'une série de fonctions

Joaopa
Modifié (28 May) dans Analyse
Bonsoir à tous,

trouvé dans un exercice: soit $\theta\in]0,\pi[$. Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\ge1}t^{n-1}\sin(n\theta)$ converge uniformément sur $[0,1[$. Je pensais qu'une transformation d'Abel allait vite torcher l'affaire. Mais je dois m'y prendre comme un manche, car je n'arrive pas au résultat.

Merci d'avance pour toute aide.

Réponses

  • Ça a l'air simple. Les restes de la série se calculent explicitement (partie imaginaire de...)
  • Joaopa
    Modifié (28 May)
    Je trouve comme reste d'ordre $n$ (sauf erreur de calcul) $\frac{-2t^n\cos(n\theta)}{1+t^2}$ et si je majore brutalement je n'obtiens pas la convergence uniforme.
    EDIT: j'ai vu mon erreur de calcul.....

  • Bonjour,
    Je ne vois rien d'uniforme dans la convergence  de $\displaystyle\left( t\mapsto\sum_{n\geqslant 1}t^{n-1}\sin n\theta\right)_{n\in \N^*}$ sur $[0;1[.\:$  En effet, si $\theta =\dfrac{\pi}2, $ alors: $\: \forall t \in [0;1[,$
    $R_n(t) :=\displaystyle \sum_{k\geqslant 4n+1}t^{k-1}\sin k\theta=\dfrac{t^{4n}}{1+t^2}.\:\:\text { La suite } (R_n)_n \text { ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur } [0;1[.$
  • Joaopa
    Modifié (1 Jun)
    J'avais ce problème aussi. Mais la question est tiré d'un exercice de Centrale PSI. Ca me sembliat bateau

    EXERCICE 4
  • La locution "d'après" laisse penser que l'adaptation de l'énoncé a été sous-optimale.
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