Un système différentiel pour bien commencer la semaine

Nobles saigneurs et gentes dames,
Souffrez que je vous propose de
Résoudre de deux façons différentes le système différentiel $dx/z = dy/x = dz/(7x - 6y) = dt/t$.
A vous revoir au petit lever...

In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

Réponses

  • La première méthode repose sur une résolvante, alors que la seconde repose sur des intégrales premières.
    In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

  • Le RHS avec $\dfrac{dt}{t}$ est superflu. Balancé comme cela, ça suggère la méthode des caractéristiques.
  • Très noble Sire Piteux de Gore,
    la solution générale est baillée, par exemple sur $\R_+^*$,  par $t\mapsto{\rm e}^{M\ln t}C$, où $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\7&-6&0\end{pmatrix}$. La suite est laissée aux manouvriers et aux gueux car les valeurs propres d'icelle matrice $M$ sont $-3,2,1$.
    Je suis votre humble serviteur.
  • Bonsoir,
    Comme le dit très justement "Area 51" : <<ça suggère la méthode des caractéristiques.>>. Et même mieux que cela, il s'agit du système d'ODEs de Charpit-Lagrange associé à l'EDP suivante :
    $$z\frac{\partial t}{\partial x}+x\frac{\partial t}{\partial y}+(7x-6y)\frac{\partial t}{\partial z}=t$$
    Comme le dit très justement "john_john": <<la solution générale est baillée...etc.>> Et l'on trouve bien ces valeurs propres -3, 2, 1 dans le calcul des équations caractéristiques de l'EDP :
    $$-3x+2y+z=c_1t^{-3}$$
    $$2x-3y+z=c_2t^2$$
    $$x-5y+z=c_3t^1$$
    Il n'en faut pas plus pour expliciter la solution générale de la dite EDP. Mais cela nous mènerais au delà de  ce qui est demandé par Maître "Piteux_gore" dont je salue l'humour courtois.






  • Piteux_gore
    Modifié (28 May)
    Pour ma part, je trouve $x - 6y + z = Ct, 2x - 3y + z = C't^2, 3x - 2y - z = C''/t^3$.
    Autre méthode :
    $7x - 6y = tdz/dt = tz'$
    $7x' - 6y' = z' + tz''$
    $7z/t - 6x/t = z' + tz''$
    $7z - 6x = tz' + t^2z''$
    $7z' - 6x' = z' + tz'' + 2tz'' + t^2z'''$
    $6z' - 6z/t = tz'' + 2tz'' + t^2z'''$
    $t^3z''' + 3t^2z'' - 6tz' + 6z = 0$
    Cette équation d'Euler, qui est facile à résoudre, donne $z$ et, de là, on trouve $x$ et $y$ :
    $x = At + Bt^2 + C/t^3, y = At + Bt^2/2 - C/3t^3, z = At + 2Bt^2 - 3C/t^3$.

    In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

  • @ Piteux_gore : On est d'accord sauf que, dans ma troisième équation, il y a une faute de dactylographie. Remplacer -5y par -6y.
  • Je ne connaissais pas la méthode des caractéristiques, mais j'ai employé les propriétés des proportions :smile:
     $dx/z = dy/x = dz/(7x − 6y) = dt/t $
    $(dx - 6dy + dz)/(z - 6x + 7x - 6y) = dt/t$
    $(dx - 6dy + dz)/(x - 6y + z) = dt/t$
    $d(x - 6y + z)/(x - 6y + z) = dt/t$
    $x - 6y + z = Ct$, etc.

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