PGCD
bonsoir , aidez moi avec la question 3 svp
1.Quel est le chiffre des unités de $17^{2024}$
2.Soit a_n le chiffre des unités de $17^n$" (n € N). Quelles sont les valeurs possibles de a_n?
3.Soit n € N, a = 2n + 8, b = 3n + 15 et d le PGCD de a et b
a) Montrer que V n € N d divise 6
Voici mes résultats
1. le chiffre des unités est 1 en utilisant la congruence
2. les valeurs possibles de a_n sont {1;7;9;3}
Après avoir calculé pour n=4k , pour n=4k+1 , n=4k+2 et n=4k+3
1.Quel est le chiffre des unités de $17^{2024}$
2.Soit a_n le chiffre des unités de $17^n$" (n € N). Quelles sont les valeurs possibles de a_n?
3.Soit n € N, a = 2n + 8, b = 3n + 15 et d le PGCD de a et b
a) Montrer que V n € N d divise 6
Voici mes résultats
1. le chiffre des unités est 1 en utilisant la congruence
2. les valeurs possibles de a_n sont {1;7;9;3}
Après avoir calculé pour n=4k , pour n=4k+1 , n=4k+2 et n=4k+3
Réponses
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Salut,
Pour la 3), d=pgcd(a,b)=pgcd(a;b-a)=pgcd(a-2(b-a);b-a)=pgcd(...;...) -
Bonjour M4d,voilà, au moins tu as donné tes premiers résultats, c'est mieux comme cela !Pour la question 3, commence par l'algorithme d'Euclide (au moins le début).Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
-
Bonjour,
Que vaut $2b-3a$ ?
Jean-éric. -
Ton cours raconte certainement un truc, si $au+bv=d$...
Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$ -
Bonsoir
en faisant l’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD je suis arrivé à n+7=(n+1)+6
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Bien M4d, maintenant, remonte l'algorithme en écrivant $6=(n+7)-(n+1)$ puis $n+1=...$ pour retrouver une relation de Bézout entre $a$ et $b$.Par contre, le problème de cette méthode est que nous devons avoir $6<n+1$ (donc cela nous oblige à traiter pas mal de valeurs de $n$ séparément).Ainsi, je te conseille de suivre la méthode de jean-éric plutôt, au propre quand tu rédigeras (mais le cheminement que je t'ai proposé au moins au brouillon va t'aider à comprendre comment jean-éric est arrivé à ce qu'il propose).Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Je pense que Jean-Eric est arrivé à ce qu'il écrit en remarquant que $2 \times 3=3 \times 2$.
Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$ -
b) résoudre dans N l’équation d=6
je peux poser à+b=… pour avoir un système ? -
NicoLeProf a dit :Bien M4d, maintenant, remonte l'algorithme en écrivant $6=(n+7)-(n+1)$ puis $n+1=...$ pour retrouver une relation de Bézout entre $a$ et $b$.Par contre, le problème de cette méthode est que nous devons avoir $6<n+1$ (donc cela nous oblige à traiter pas mal de valeurs de $n$ séparément).Ainsi, je te conseille de suivre la méthode de jean-éric plutôt, au propre quand tu rédigeras (mais le cheminement que je t'ai proposé au moins au brouillon va t'aider à comprendre comment jean-éric est arrivé à ce qu'il propose).
6=(n+7)-(n+1)=(n+7)-a+(n+7) 0r n+7=b-a
soit 6=b-a-a+b-a=2b-3a or a et b donc d divise 6 . C’est bon comme ça ?
je vais essayer de comprendre la méthode de Jen Éric ça a l’air plus rapide . Mais seulement qu’est-ce qui peut nous amener à supposer son hypothèse -
salut
si d divise a et b alors il divise toute combinaison linéaire de a et b donc tous les entiers de la forme $ua + vb$ avec u et v entiers ...
on cherche donc si par hasard il existe des entiers u et v tels que $ 6 = ua + vb $ et on se rappelle que $6 = 0n + 6$
d/ il suffit de remarquer que $a = 2n + 8 = 2(n + 4)$ et $ b= 3n + 15 = 3(n + 5)$ et qu'aucun entier (sauf 1 évidemment) ne divise simultanément n + 4 et n + 5 ...Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Voilà c'est comme cela que l'on peut trouver la relation de Bézout annoncée par jean-éric.Après, je suis tout à fait d'accord avec zeitnot qui signale l'évidence : jean-éric a dû simplement se dire que $3 \times 2n-2 \times 3n=0$ et avec $a$ et $b$, cela tombe vraiment bien !Même si avoir recours à l'algorithme d'Euclide reste un bon réflexe dans un cas plus général !
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Sans aller chercher les coefficients de Bezout, par l’algorithme d'Euclide:$d=(2n+8;3n+15)=(2n+8;n+7)=(n+1;n+7)=(n+1;6)$ donc $d|6$.The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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Tout à fait d'accord avec Soc ! D'ailleurs, M4d, le message de Soc juste au-dessus est précieux et va t'aider à résoudre l'équation $d=6$.
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
NicoLeProf a dit :Tout à fait d'accord avec Soc ! D'ailleurs, M4d, le message de Soc juste au-dessus est précieux et va t'aider à résoudre l'équation $d=6$.En posant quoi
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Oubien je pose d=6 => (n+1)^6=6 donc 6 divise n+1 soit n+1=6k => n=6k-1
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Presque, mais c'est quand-même pas bien rédigé M4d, applique toi s'il te plaît.Une équation se résout par équivalences logiques : utilise le symbole $\Leftrightarrow$, n'oublie pas les quantificateurs et attention à la notation (n+1)^6 : on pourrait croire que c'est $n+1$ exposant $6$ alors que tu veux écrire $PGCD(n+1;6)$. Il vaut mieux écrire $PGCD(n+1;6)$.Donc fais un petit effort de rédaction s'il te plaît. Si le $\LaTeX$ te gêne, tu peux faire cela sur une feuille de manière manuscrite et poster une photo ou un scan sur le forum.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Bonjour,
Ma seule idée est d'éliminer $n$ par combinaison linéaire : c'est simple à faire, $2b-3a$ ne dépend pas de $n$ et vaut de plus 6 !
Donc t'obtiens le résultat demandé car tout diviseur commun à $a$ et de $b$ divise $2b-3a=6$, c'est le cas de $d$. Il est d'ailleurs nullement demandé dans la question initiale de déterminer le pgcd de $a$ et $b$ suivant les valeurs de $n$. Mais vous avez parfaitement indiqué comment faire.
Bonne journée.
Jean-éric. -
Comment je procède alors pour la résolution de d=6
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Tu peux commencer comme ceci : $d=6 \Leftrightarrow PGCD(a;b)=6 \Leftrightarrow ... $ (regarde le post de Soc ci-dessus et ce que tu as écrit avant (ici), c'est davantage une histoire de rédaction et de rigueur me concernant ici, j'aimerais que tu y prêtes davantage d'attention pour éviter tout contresens et tout raisonnement inexact).
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Bonjour!
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