Somme de réseaux

Calembour
Modifié (May 2024) dans Arithmétique
Je présente ci-dessous le calcul d'une série double intéressante. Je propose deux démonstrations.

Pour $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{Re}(s) > 1$, on cherche à calculer : 
$$ \Phi(s) = \sum_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2 \backslash (\{0,0\})} \frac{1}{(a^2 + b^2)^s}$$

On a le résultat suivant : 

$$\Phi(s) = 4 \beta(s) \zeta(s)$$

Où $\beta$ désigne la fonction bêta de Dirichlet et $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann, pour rappel :
$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 0, \beta(s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$$

Exemple
$$ \Phi(2) = \frac{2}{3} \pi^2 C$$

où $C$ désigne la constante de Catalan $\left( C = \beta(2) = \int_0^1 \frac{\mathrm{arctan}(u)}{u} du \right)$

Preuve 1 : (Via la formule d'inversion de Mobius et le théorème des deux carrés)

Notons $r_2$ la fonction "somme de deux carrés", elle associe à un nombre entier $n$ le nombre de représentations en sommes de deux carrés de $n$. En particulier c'est une fonction arithmétique et le théorème des deux carrés de Jacobi nous donne une expression simple pour $r_2$ :
$\forall n \in \mathbb{N^*}, r_2(n) = 4 (d_1(n) - d_3(n) )$ (formule de Jacobi)
Où $d_1(n)$ (resp $d_3(n)$) est le nombre de diviseurs de $n$ congru à $1$ (resp $3$) modulo $4$.

On a en particulier :
$$ \Phi(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r_2(n)}{n^s}$$

Le théorème de Jacobi nous permet d'écrire $r_2$ comme une somme sur les diviseurs de $n$, on a :  
$$ r_2(n) = 4 \sum_{d | n} \mathrm{sin} \left( \frac{1}{2} \pi d \right) $$

La formule d'inversion de Mobius donne ($\mu$ étant la fonction de Mobius) :

$$4 \mathrm{sin} \left( \frac{1}{2} \pi n \right) = (r_2 \star \mu) (n)$$ 

En passant aux séries de Dirichlet et en se servant des propriétés de compatibilité des séries de Dirichlet avec le produit de convolution, on a :  

$$4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\mathrm{sin} \left( \frac{1}{2} \pi n \right) }{n^s} = \Phi(s) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} $$

On reconnait à gauche la fonction bêta de dirichlet, et la somme de droite est connue comme étant l'inverse de la fonction zêta de Riemann. D'où le résultat.

Preuve 2 : (Via le corps $\mathbb{Q}(i)$ et la fonction zêta de Dedekind)

Posons $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(i)$ le corps des nombres de Gauss et son anneau des entiers est l'anneau des entiers de Gauss $\mathcal{O}_{\mathbb{K}} = \mathbb{Z}[i]$. On peut facilement montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un anneau euclidien en considérant une division euclidienne avec la norme sur les nombres complexes. En particulier $\mathbb{Z}[i]$ est principal et tous ses idéaux sont principaux et les unités de $\mathbb{Z}[i]$ sont $\pm 1$, $\pm i$.

La fonction zêta de Dedekind associée est (la somme porte sur les idéaux non-nuls et $N$ désigne la norme de $\mathbb{Q}(i)$ sur $\mathbb{Q}$ qui se ramène ici à la norme usuelle sur les nombres complexes) : 

$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 1,  \zeta_{\mathbb{K}} (s) = \sum_{I \subset \mathbb{Z}[i], I \neq (0)} \frac{1}{N(I)^s} = \frac{1}{4} \sum_{a + ib \neq 0} \frac{1}{(a^2 + b^2)^s}$$

$\zeta_{\mathbb{K}}$ admet également un développement en produit eulérien (le produit porte sur les idéaux premiers) :

$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 1, \zeta_{\mathbb{K}} (s) = \prod_{\mathfrak{P} \subset \mathcal{O}_{\mathbb{K}}} \frac{1}{1 - N(\mathfrak{P})^{-s}}$$

Comme $\mathbb{Z}[i]$ est principal, les idéaux premiers correspondent aux éléments premiers de $\mathbb{Z}[i]$ appelés "nombres premiers de Gauss".

La description des nombres premiers de Gauss (à l'aide du théorème des deux carrés) nous permet de réécrire le produit eulérien :

$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 1, \zeta_{\mathbb{K}} (s) = \frac{1}{1 - 2^{-s}} \prod_{p \in \mathbb{P} \atop p \equiv 1[4]} \frac{1}{(1 - p^{-s})^2} \prod_{p \in \mathbb{P} \atop p \equiv 3[4]} \frac{1}{1 - (p^2)^{-s}} $$

$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 1, \zeta_{\mathbb{K}} (s) = \zeta(s)  \prod_{p \in \mathbb{P} \atop p \equiv 1[4]} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \in \mathbb{P} \atop p \equiv 3[4]} \frac{1}{1 + p^{-s}} $$

$$\forall s \in \mathbb{C}, \mathrm{Re}(s) > 1, \zeta_{\mathbb{K}} (s) = \zeta(s)  L(s, \chi) $$

Où $\chi$ est le caractère de Dirichlet "modulo 4", qui correspond à la fonction bêta de Dirichlet.

Pour aller plus loin :

Ce type de sommes appelées "sommes de réseaux" (lattice sum) interviennent à la frontière entre la théorie des nombres et la physique. En particulier, ce type de somme peuvent modéliser des interactions de type électrique (coulomb) dans des réseaux cristallins https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Madelung 

Par exemple la somme : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n r_2(n)}{n^s} $ vaut $-4 \zeta(s) \eta(s)$ où $\eta$ est la fonction êta de Dirichlet.
https://mathworld.wolfram.com/LatticeSum.html

Cordialement

Calembour

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