$\sqrt{-2}$ dans $\Bbb Q_3$

Bonjour
je n'ai pas la moindre idée de comment on s'y prend ?
J'ai juste, par tâtonnement obtenu que $22^2=-2\mod 3^5$
Le suivant serait $1+3+2.3^2+2.3^5$ dont le carré vaut -2 $\mod 3^7$.
Ca suggère un truc du genre $1+3+2\sum3^{3k+2}$ qui je crois vaut $4-\frac9{13}$ "so what" ?

Quelqu'un peut m'expliquer ?
Merci

Réponses

  • Je ne crois pas qu'il y ait de formule explicite pour le développement décimal d'une racine dans $\Q_3$ (comme quand on calcule une racine dans $\R$). Par contre, on peut calculer les chiffres du développement un par un, en construisant une suite $(x_k)$ telle que $x_{k+1} = x_k + (\text{un chiffre})3^{k+1}$ et $x_k^2$ est de la forme $-2 + a_k 3^{k+1}$, avec $a_k$ entier. Pour passer de $k$ à $k+1$, il suffit de tester quel chiffre (parmi $0$, $1$, $2$) rajouter après $x_k$ pour avoir $x_{k+1}$ de la forme $-2 + a_{k+1} 3^{k+2}$.
  • Guego
    Modifié (24 May)
    Programme python qui calcule les 30 premiers chiffres et renvoie $x_{30}$ ainsi que la liste $T$ de ses chiffres en base $3$ :
    
    x=1
    p3=3
    T=[1]
    for k in range(30):
    	if ((x+p3)**2+2)%(3*p3)==0:
    		x=x+p3
    		T.append(1)
    	elif ((x+2*p3)**2+2)%(3*p3)==0:
    		x=x+2*p3
    		T.append(2)
    	else:
    		T.append(0)
    	p3*=3
    
    print(x)
    print(T)
    

    Renvoie :
    
    >>> print(x)
    67340802123148
    >>> print(T)
    [1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 0]
    
  • La méthode de Newton marche pour les polynômes dans $\Q_p$, donnant un résultat connu sous le nom de "lemme d'Hensel" (Internet, vite!).

    Soit $f(X):= X^2+2$. Ce polynôme possède une racine (simple: ça va être utile pour ce qui suit) dans $\mathbf F_3$, par exemple $2$ lui-même.
    Examiner la suite définie par récurrence par $u_0:= 2$ et $u_{n+1}:= u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$ (montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy dans $\Q_3$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je suis bien d'accord avec tout ça que je connaissais mais c'est un exercice posé tel quel
    "Find $\sqrt{-2}$ in $\Bbb Q_3$" in Weiss "Algebraic number th" p 116
    Du coup après avoir trouvé 1,1,2,0,0,2  je me suis dit qu'il y avait une régularité ce que ton résultat sur 30 décimales semble contredire.
    J'ai d'ailleurs calculé $(43/13)^2$ et j'ai été surpris de constater que c'est juste -2 à $3^7$ près.

    Exo bizarre ???
    Enfin merci
  • Voici les cent premiers chiffres : pas très parlant.
    . P
  • LOU16
    Modifié (3 Jun)
    Bonjour,
    Soit $(u_n)_{n\in\N^*}\: $ la suite définie par $u_1=1,\:\:\forall n \in \N^*, \:u_{n+1} =u_n(1+u_n)+2.\quad $ Alors:
    $\forall n \in \N^*,u_{n+1}\equiv u_n \mod 3^n,\quad u_n^2+2\equiv 0 \mod 3^n.$
     La suite $(u)_{n\in \N^*}$  définit un élément $u$ de $\Z_3$ tel que $u^2 =-2.$
  • samok
    Modifié (24 May)
    Ouaah LOU16

    j'ai jeune et  (bisous AD) pas tout vérifié, mais en fait t'as trouvé le sens de "Find" dans le problème initial.

    Problème suivant ? :)
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