Paraboles

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Réponses

  • Pour l'EDO de toutes les coniques de foyer $O$, autant rester en représentation cartésienne. Partant de $aX+bY+c\pm\sqrt{X^2+Y^2}=0$, on arrive à $y''D'-y'''D=0$, où $D=\displaystyle\frac{(x^2+y^2)(1+(y')^2+yy'')-(x+yy')^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$ ; avec un peu de courage, on peut exprimer $D'$ :)
  • Paraboles tangentes aux axes : $2xyy'' + y'(y - xy') = 0$.
    In vino veritas... On ment à l'eau. (Mme Bavasky, Le Déconomicon)

  • Bonjour,
    oui, pour cette famille ; on peut la paramétrer par $t\in\R\mapsto(\pm_1t^2,\pm_2(Ct+D)^2)$ puis éliminer $C$ et $D$ entre $y,y'$ et $y''$. L'équation est homogène en la fonction inconnue car la famille est laissée stable par les homothéties de centre $O$ ; en revanche, elle contient explicitement $x$ car la famille n'est pas laissée stable par les translations horizontales.
  • Que signifient les indices à côté de $\pm$ ?
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  • Pour moi, la notation $\pm$ est ambiguë lorsqu'elle est utilisée plusieurs fois dans une formule ; je l'ai indexée pour dire qu'il y a deux valeurs pour chaque $\pm$ (et non pas égalité des deux valeurs, ce qui ne donnerait que la moitié des paraboles). J'aurais pu les noter $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$...
  • C'est ce que je pensais... La notation avec les epsilons est plus répandue.
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  • Plus répandue : ben oui, mais s'il y a à côté de cela un $\varepsilon$ qui tend vers $0$, faut-il l'appeler $\eta$ ?
  • D'où un bel exercice pour Math-Sup :smile:
    1) Déterminer les courbes intégrales de l'EDO.
    2) Déterminer la nature d'icelles.
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  • john_john
    Modifié (22 May)
    Hélas, Piteux_gore, les MathSup, pas plus que les Spé, ne connaissent plus que les EDO linéaires ; et encore : seulement à l'ordre $1$ en Première année. Quant aux paraboles, je ne suis même pas sûr qu'il soit nécessaire de savoir les reconnaître autrement que par une équation de la forme $X^2=2pY$.
  • Pour résoudre l'EDO, j'ai mis un certain temps à trouver l'astuce : dédoubler le $2xyy''$.
    Y aurait-il une autre façon ?
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  • john_john
    Modifié (22 May)
    L'EDO est homogène en $y;y',y''$ ; on peut en abaisser l'ordre en posant $y'=zy$ et donc $y''=(z'+z^2)y$, d'où $2x(z^2+z')+z(1-xz)=0$, qui est une EDO de Bernoulli (pose $Z=1/z$).
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