limite d'une intégrale

Soit $$I(\lambda) = \frac{\sqrt{\lambda}}{\pi} \int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^{-4\lambda\sin^2(\theta/2)}\mathrm{d}\theta$$

Je cherche à montrer que $I(\lambda)$ admet une limite quand $\lambda$ tend vers $+\infty$. Il semblerait d'après Xcas que $\lim_{\lambda \to +\infty} I(\lambda) \simeq 0.28$. Dans cet exercice, on donne l'indication $\sin(t) \ge \frac{2t}{\pi}$ pour $t \in [0,\pi/2]$. Cela m'a permis d'obtenir la majoration  $I(\lambda) \le \frac{\sqrt{\pi}}{4}$ mais je ne vois pas à quoi cela peut bien servir.  J'ai pensé à montrer que $\lambda \mapsto I(\lambda)$ est décroissante mais je n'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée. Merci pour une idée ou une indication.