Matrices carrées à coefficients réels

M4d
M4d
Modifié (21 May) dans Analyse

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Réponses

  • Bonjour,
    Pour la première question, qu’as-tu fait ?

    Cordialement 

    Dom
  • NicoLeProf
    Modifié (21 May)
    Bonjour M4d,
    les autres intervenants ont raison : lorsque tu postes un exercice sur le forum, il faut que tu précises où tu bloques, ce que tu as fait etc. Cela va nous donner envie de t'aider et cela permet de respecter la charte du forum.
    Nous n'allons pas faire l'exo à ta place...
    Comme c'est de l'algèbre, cela me plaît et je suis prêt à t'aider patiemment et en faisant preuve de pédagogie.
    Pour la question 1, tu dois montrer deux éléments :
    -> la loi de composition sur $E$ est interne : pour toutes matrices $A$, $B \in E$, $A \times B \in E$. ($\times$ désignant le produit matriciel ici).
    -> Cette loi est associative sur $E$ : pour toutes matrices $A$, $B$, $C \in E$, $(A \times B   ) \times C=A \times (B \times C)=A \times B \times C$.
    Je t'ai rappelé les définitions, maintenant, c'est à toi de jouer ! Il n'y a aucune difficulté dans cette question, ce n'est que du calcul. Comment peux-tu écrire une matrice appartenant à $E$ d'ailleurs?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bonjour NicoLeprof je suis à la question 1 , la matrice me mélange, car je ne connais comment montrer que c'est une loi de composition interne associative dans le cas d'une matrice 
  • JLapin
    Modifié (21 May)
    NicoLeProf a dit :
    Pour la question 1, tu dois montrer deux éléments :
    -> la loi de composition sur $E$ est interne : pour toutes matrices $A$, $B \in E$, $A \times B \in E$. ($\times$ désignant le produit matriciel ici).
    -> Cette loi est associative sur $E$ : pour toutes matrices $A$, $B$, $C \in E$, $(A \times B   ) \times C=A \times (B \times C)=A \times B \times C$.
    Allez, au travail !
    Soit $A$ et $B$ dans $E$ que l'on écrit ainsi : $A = ...$ et $B=...$.
    Alors on a $AB = ...$ avec .... donc $AB\in E$.
    ...
    ...

  • Ben ... on reprend les mots et on les justifie un à un. C'est simplement le sens de la phrase.
    Donc on montre que la loi de composition proposée (c'est laquelle ? ) est une loi interne (ça veut dire quoi ? Je prouve que c'est vrai) et est associative (ça veut dire quoi ? Je prouve que c'est vrai).

    Finalement, tu n'as encore pas fait ton travail de base, lire l'énoncé, le comprendre (en référence au cours) puis faire ce qui est demandé. Tu préfères copier ce qu'écrivent les autres, même si tu ne comprends pas, ce qui ne te permettra pas d'être autonome ... Grandis !

  • JLapin a dit :
    NicoLeProf a dit :
    Pour la question 1, tu dois montrer deux éléments :
    -> la loi de composition sur $E$ est interne : pour toutes matrices $A$, $B \in E$, $A \times B \in E$. ($\times$ désignant le produit matriciel ici).
    -> Cette loi est associative sur $E$ : pour toutes matrices $A$, $B$, $C \in E$, $(A \times B   ) \times C=A \times (B \times C)=A \times B \times C$.
    Allez, au travail !
    Soit $A$ et $B$ dans $E$ que l'on écrit ainsi : $A = ...$ et $B=...$.
    Alors on a $AB = ...$ avec .... donc $AB\in E$.
    ...
    ...

    A = ( a  0 ) 
            ( 0 0 )  ∈ E 
    B = ( 0  0 ) ∈ E 
            ( b  0 ) 
  • M4d
    M4d
    Modifié (21 May)
      AB =( a  0 )  ( a  0) =( ab  0 )
             (0   0 )   ( b  0 )   ( 0   0 )
    d'où AB = ( ab    0  )
                       ( 0     0 ) ∈ E 
  • Ceci n'est pas une preuve correcte, puisque ta matrice A est particulière; et qu'elle dépend de B.
    Tu sembles même ne pas avoir compris l'énoncé. $E$ est un ensemble de matrices. Serais-tu capable d'en donner 3 très précisément définies (par des coefficients numériques) ?
  • J'ai défini A ( ) et B ( ) et j'ai fait le produit de AB 
  • Tu n'as pas pris $A$ et $B$ quelconques dans $E$ donc ton raisonnement n'est pas licite et ne recevrait certainement pas la note maximale à l'examen.
  • "Serais-tu capable d'en donner 3 très précisément définies (par des coefficients numériques) ?"
    On dirait que non !! Allez, réponds ...
  • JLapin a dit :
    Tu n'as pas pris $A$ et $B$ quelconques dans $E$ donc ton raisonnement n'est pas licite et ne recevrait certainement pas la note maximale à l'examen.
    A est quelconque cela veut dire 
  • Je te conseille d'appeler tes deux matrices $A_1$ et $A_2$ histoire de ne pas confondre avec les $a$ et $b$ de la définition de $E$.
  • NicoLeProf
    Modifié (21 May)
    M4d, bonjour.
    Réponds d'abord à ces questions en justifiant tes réponses s'il te plaît (car tu ne sembles pas comprendre ce que c'est l'ensemble $E$) et j'aimerais que tu progresses :  
    1) la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    2) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    3) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    4) La matrice $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2,5 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    5) La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 0,1 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    6) (Attention au piège !) La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    7) La matrice $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$ avec $a \in \mathbb{R}^*$?
    8) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$ avec $x \in \mathbb{R}$?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • gerard0 a dit :
    "Serais-tu capable d'en donner 3 très précisément définies (par des coefficients numériques) ?"
    On dirait que non !! Allez, réponds ...
    A = ( a  0 )
            (0  0 )
    B = ( 0   0 )
           ( b    0 )
    C = ( 0     c )
           ( 0    0)
  • Ma connexion était finie donc raison pour laquelle j'étais plus en ligne 
  • 1 - non
    2 - oui 
    3 - oui 
    4 - non 
    5 - non 
    6 -😁 
    7 - oui 
    8 - oui 
  • @M4d,

    Je pense que tu n'as pas compris comment s'écrivent les éléments de E. La première colonne d'une matrice de E est constituée de deux nombres réels $a$ et $b$ avec $a\neq 0$. La seconde est constituée d'une colonne contenant deux zéros.

    Reprends certaines de tes réponses aux questions de @NicoLeProf qui sont fausses. Je ne dirai pas lesquelles !

    Bien cordialement.
  • NicoLeProf
    Modifié (21 May)
    Ok, donc tu n'as pas compris ce qu'est l'ensemble $E$ en fait vu tes réponses.
    Que signifie le smiley à la question 6?
    D'ailleurs, je t'avais demandé de justifier. Bref, reprenons gentiment :
    $E$ est l'ensemble des matrices carrées $2  \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a \in \mathbb{R}^*$ ($a$ est un réel non nul) et $b \in \mathbb{R}$.
    Je peux écrire $E$ sous forme ensembliste aussi : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ }  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \right \}$. 
    Ou mieux : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ } \exists a \in \mathbb{R}^*, \exists b \in \mathbb{R},  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \right \}$
    Autrement dit, si une matrice $M$ appartient à l'ensemble $E$, alors il existe un réel $a$ différent de $0$ et un réel $b$ tels que $M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$.
    Ainsi, la matrice de ma première question : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ est bien un élément de l'ensemble $E$ car cette matrice est bien de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a=1 \in \mathbb{R}^*$ et $b=2 \in \mathbb{R}$. Est-ce que c'est plus clair pour toi maintenant @M4d?
    Comprends-tu maintenant pourquoi il fallait répondre "oui" à ma première question?
    Je te laisse revoir et éventuellement corriger tes autres réponses et les justifier. Essaie s'il te plaît ! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Mais dans mon cours je ne vois pas la notion de E mais je vois  .......
  • NicoLeProf a dit :
    Ok, donc tu n'as pas compris ce qu'est l'ensemble $E$ en fait vu tes réponses.
    Que signifie le smiley à la question 6?
    D'ailleurs, je t'avais demandé de justifier. Bref, reprenons gentiment :
    $E$ est l'ensemble des matrices carrées $2  \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a \in \mathbb{R}^*$ ($a$ est un réel non nul) et $b \in \mathbb{R}$.
    Je peux écrire $E$ sous forme ensembliste aussi : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ }  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \right \}$. 
    Ou mieux : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ } \exists a \in \mathbb{R}^*, \exists b \in \mathbb{R},  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \right \}$
    Autrement dit, si une matrice $M$ appartient à l'ensemble $E$, alors il existe un réel $a$ différent de $0$ et un réel $b$ tels que $M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$.
    Ainsi, la matrice de ma première question : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ est bien un élément de l'ensemble $E$ car cette matrice est bien de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a=1 \in \mathbb{R}^*$ et $b=2 \in \mathbb{R}$. Est-ce que c'est plus clair pour toi maintenant @M4d?
    Comprends-tu maintenant pourquoi il fallait répondre "oui" à ma première question?
    Je te laisse revoir et éventuellement corriger tes autres réponses et les justifier. Essaie s'il te plaît ! ;)
    Oui j'ai compris , mais comment on utilise le lattex afin que je puisse écrire en latex
  • jean-éric a dit :
    @M4d,

    Je pense que tu n'as pas compris comment s'écrivent les éléments de E. La première colonne d'une matrice de E est constituée de deux nombres réels $a$ et $b$ avec $a\neq 0$. La seconde est constituée d'une colonne contenant deux zéros.

    Reprends certaines de tes réponses aux questions de @NicoLeProf qui sont fausses. Je ne dirai pas lesquelles !

    Bien cordialement.
    2 oui car   ( 1  0 )
                       ( 1  0 ) 
    Car cette matrice est de la forme :
    ( a    0 )
    ( b   0  ) 
    Avec a = 1 et b = 1
  • Svp comment On écrit en latex !
  • "dans mon cours je ne vois pas la notion de E" !!! Tu te moques du monde !! L'énoncé de l'exercice dit ce que veut dire, dans l'exercice, la notation E.
    Et pour démontrer qu'une propriété est toujours vraie, tu as copié ce qu'il y a dans ton cours pour démontrer qu'une propriété n'est pas (toujours) vraie !!!
    Voudrais-tu bien mettre un peu d'intelligence dans ce que tu fais, aussi bien la lecture et l'apprentissage de ton cours, que la mise en œuvre dans des exercices ? Car il n'y a pas d'autre méthode, on n'apprend pas les maths comme on apprend le vélo. Il faut penser, réfléchir, comprendre, et, quand comme toi on n'en a pas l'habitude, ça fait mal à la tête. Mais comme c'est ça les maths, pour l'instant tu n'en fais pas ! Ce qui explique que tu demandes qu'on écrive les réponses à ta place.

    Allez, bouge tes neurones.

  • Gerard0,  je voudrais qu'on me dit comment on utilise le latex car je souffre en insérant mes matrices 
  • gerard0
    Modifié (21 May)
    Comment écrire en laTeX : Dans un premier temps, on peut se contenter de taper les formules en les entourant (toute la formule de deux $.
    Pour savoir comment écrire, on peut faire apparaître le code (à mettre entre dollars) des formules des autres, en cliquant droit sur la formule (Show maths as), puis sur Tex Commands.
    Cordialement.







  • Mais je ne vois pas ça ici 
  • JLapin
    Modifié (21 May)

    \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}


  • NicoLeProf
    Modifié (21 May)
    M4d, tu exagères tout de même, tu n'as pas besoin du $\LaTeX$ pour répondre à mes $8$ questions pour que je puisse vérifier que tu as bien compris l'énoncé de ton exercice maintenant et pour pouvoir avancer et espérer traiter la question 1 au moins ! :D
    Bon, sinon, tu fais un copié collé sur le message de JLapin juste au-dessus et tu insères deux dollars (notés $): un dollar avant "\begin" et un dollar après "\end{pmatrix}".
    Plus d'infos ici par exemple : https://www.normalesup.org/~glafon/eiffel19/symboles_latex.pdf . (Des tutos plus précis sont disponibles en cherchant sur internet).
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je clique sur ce que vous avez envoyé mais ça n'abouti pas pas 
  • avec une souris, clic du bouton droit.
  • JLT
    JLT
    Modifié (21 May)
    Je crois qu'il vaut mieux que tu n'utilises pas LaTeX. Sinon tu vas poster 100 messages pour demander comment taper 3 caractères et tu ne feras toujours pas de math.
  • NicoLeProf
    Modifié (21 May)
    M4d, tu peux répondre à mes $8$ questions en faisant des phrases courtes, pas besoin de $\LaTeX$ ici. Les justifications attendues sont toujours du même type (donc tu peux faire des copiés collés). Sinon, tu travailles sur une feuille et tu scannes ton travail. 
    Dans tous les cas, il faudrait te mettre au travail maintenant, allez tu peux progresser en faisant un effort, j'en suis persuadé !!! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • JLT a dit :
    Je crois qu'il vaut mieux que tu n'utilises pas LaTeX. Sinon tu vas poster 100 messages pour demander comment taper 3 caractères et tu ne feras toujours pas de math.
    Je pense alors que je vais devoir laisser tomber mon exercice,  c'est mieux  , car j'utilise un téléphone portable,  pour écrire c'est  très compliqué , imaginez vous même un téléphone portable et remarqué mes réponses ci-dessus  comment j'ai écrit 🙏
  • NicoLeProf a dit :
    M4d, tu peux répondre à mes $8$ questions en faisant des phrases courtes, pas besoin de $\LaTeX$ ici. Les justifications attendues sont toujours du même type (donc tu peux faire des copiés collés). Sinon, tu travailles sur une feuille et tu scannes ton travail. 
    Dans tous les cas, il faudrait te mettre au travail maintenant, allez tu peux progresser en faisant un effort, j'en suis persuadé !!! ;)
    gerard0 a dit :
    avec une souris, clic du bouton droit.
    J'ai un téléphone portable 📱 
  • NicoLeProf a dit :
    M4d, tu peux répondre à mes $8$ questions en faisant des phrases courtes, pas besoin de $\LaTeX$ ici. Les justifications attendues sont toujours du même type (donc tu peux faire des copiés collés). Sinon, tu travailles sur une feuille et tu scannes ton travail. 
    Dans tous les cas, il faudrait te mettre au travail maintenant, allez tu peux progresser en faisant un effort, j'en suis persuadé !!! ;)
    Regardez mes réponses du dessus,  comment mes matrices sont écrit 
  • (avec le téléphone, je ne parviens plus à retrouver le code Latex comme un clic droit, avant c’était en faisant « tapoter - tapoter - laisser le doigt sur l’écran », une sorte de clic-clic-maintien. Depuis un gros pépin, ça été fonctionne plus.)
  • Amadou
    Modifié (21 May)
    Je suis vraiment désolé de m'immiscer dans la conversation, mais le sujet qui est abordé m'intéresse beaucoup (car j'ai étudié le chapitre calcul matriciel il y a deux semaines de cela).
    M4d a dit :
    Je pense alors que je vais devoir laisser tomber mon exercice,  c'est mieux  , car j'utilise un téléphone portable,  pour écrire c'est  très compliqué , imaginez vous même un téléphone portable et remarqué mes réponses ci-dessus  comment j'ai écrit 🙏
    @M4d, le téléphone n'est pas une excuse. Moi aussi, j'utilise le téléphone pour écrire. J'ai suivi tous les conseils qu'ils m'ont donnés et j'ai appris à écrire en LaTeX. En appuyant longuement sur une formule mathématique et en cliquant sur "show as...", tu peux apprendre beaucoup de choses. C'est simplement une question de volonté et d'écoute.
    Fais comme l'a dit @Nicoleprof, écris sur une feuille, scanne et publie. C'est ainsi que moi aussi j'ai commencé quand j'ai débuté sur le forum, et avec le temps, j'ai appris à écrire correctement.
    Écoute attentivement ce qu'ils disent et tu apprendras beaucoup de choses. Pour ma part, je ne sais pas comment les remercier, même si je peine à progresser dans mes apprentissages. Je suis très reconnaissant envers eux et d'être tombé sur ce forum.
    Je suis novice comme toi dans le domaine d'étude supérieure et je ne suis pas mieux placé pour te conseiller. Par contre eux sont des personnes qui maîtrise bien le domaine et on des expériences.
    Ce que je peux te dire il ne faut jamais abandonner un exercice ou des intervenants font de leur mieux pour t'apporter une aide.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • M4d
    M4d
    Modifié (22 May)
    Ok j'ai compris
  • M4d
    M4d
    Modifié (22 May)

    2 - oui 
    3 - non 
    4 - non 
    5 - non 
    6 - oui 
    7- oui
    8 - oui 

  • @M4d ton exercice m'interesse ainsi que les questions posées par @NicoLeProf. Je suis novice comme toi. Avant de répondre aux questions, il faut d'abord comprendre ce qui est écrit ici (tout est clair) et comparer cela avec ses questions .
    NicoLeProf a dit :
    Bref, reprenons gentiment :
    $E$ est l'ensemble des matrices carrées $2  \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a \in \mathbb{R}^*$ ($a$ est un réel non nul) et $b \in \mathbb{R}$.
    Je peux écrire $E$ sous forme ensembliste aussi : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ }  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \right \}$. 
    Ou mieux : $E=\left \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ } | \text{ } \exists a \in \mathbb{R}^*, \exists b \in \mathbb{R},  M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \right \}$
    Autrement dit, si une matrice $M$ appartient à l'ensemble $E$, alors il existe un réel $a$ différent de $0$ et un réel $b$ tels que $M=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$.
    Ainsi, la matrice de ma première question : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ est bien un élément de l'ensemble $E$ car cette matrice est bien de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix}$ avec $a=1 \in \mathbb{R}^*$ et $b=2 \in \mathbb{R}$. Est-ce que c'est plus clair pour toi maintenant @M4d?
    Comprends-tu maintenant pourquoi il fallait répondre "oui" à ma première question?
    Je te laisse revoir et éventuellement corriger tes autres réponses et les justifier. Essaie s'il te plaît ! ;)
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • M4d a dit :

    2 - oui 
    3 - non 
    4 - non 
    5 - non 
    6 - oui 
    7- oui
    8 - oui 

    Justifications ?
  • JLT j'ai du mal à écrire mes matrices , donc je suis désolé 🙏 
  • Pas besoin d'écrire des matrices pour répondre aux questions. Si la réponse est oui, tu peux dire qui joue le rôle du $a$ et du $b$ de la définition. Sinon, un argument rapide permet de répondre.
  • M4d, c'est encore trop approximatif malheureusement.
    Comme JLT te le demande il faut justifier, pourquoi as-tu répondu "oui" à la 2 et "non" à la 3 par exemple? (Une phrase suffit à chaque justification).
    Il faut encore revoir certaines de tes réponses.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • 2- oui car elle respecte la forme de E 
    3 - non car elle ne respecte la forme E
    4 - non car elle ne respecte pas la forme de E 
    5 - non car elle ne respecte pas la forme de E 
    6 - oui car elle respecte la forme de E 
    7- oui , elle respecte la forme de E 
    8 - oui,  elle respecte la forme de E 

    Citer

  • NicoLeProf a dit :
    M4d, bonjour.
    Réponds d'abord à ces questions en justifiant tes réponses s'il te plaît (car tu ne sembles pas comprendre ce que c'est l'ensemble $E$) et j'aimerais que tu progresses :  
    1) la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    2) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    3) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    4) La matrice $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2,5 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    5) La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 0,1 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    6) (Attention au piège !) La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$?
    7) La matrice $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$ avec $a \in \mathbb{R}^*$?
    8) La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 0 \end{pmatrix}$ appartient-elle à $E$ avec $x \in \mathbb{R}$?

    Pour rappel, voici les matrices. Sinon, c'est illisible.
    Et il y a encore des erreurs.
  • Non  vous ne pouvez pas me parlez d'erreurs , vu que vous besoin de justifications,  qu'elles soient vraies ou fausses. 
    J'ai dit ici que j'ai des soucis pour écrire mes matrices et vous avez dire j'ai pas besoin d'écrire des matrices ......donc on continue 
  • JLT
    JLT
    Modifié (22 May)
    Justifie plus en détail tes réponses. Et ne cherche pas des excuses.
Cette discussion a été fermée.