Un système d'équations (niveau collège)

Bonjour,
dans un vieux manuel des années 70 destinés aux élèves de 3ème j'ai trouvé l'exercice suivant : soit $a,b,c$ des nombres réels non tous nuls, résoudre le système :
$$
\begin{cases} a^2+a=b^2,\\ b^2+b=c^2,\\ c^2+c=a^2.\end{cases}
$$
J'ai trouvé une solution, il s'agit de $(a,b,c)=\left(\dfrac{2\sin 20^\circ}{\sqrt{3}},\dfrac{2\sin 40^\circ}{\sqrt{3}},\dfrac{-2\sin 80^\circ}{\sqrt{3}}\right)$. Je ne sais pas s'il y en a d'autres.

Réponses

  • AlainLyon
    Modifié (16 May)
    En sommant les 3 équations on obtient $a+b+c=0$, puis on substitue à $c$ : $-a-b$ pour résoudre un système 2x2 de degré 2 en $a$,$b$.....je te laisse terminer.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Bonjour.

    Il y a la solution évidente a=b=c=0, plus trois autres.

    Cordialement.
  • Gerard a=b=c=0 n'est une solution du problème
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Le système est symétrique, $a,b,c$ sont interchangeables (presque). Si $(x_1,x_2,x_3)$ est solution, alors $(x_2,x_3,x_1)$ et $(x_3,x_1,x_2)$ aussi
    Mais pas $(x_1,x_3,x_2)$, c'est pour ça que je dis presque interchangeables, et non totalement interchangeables.

    Donc si tu as un triplet, tu en as 2 autres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Chaurien
    Modifié (16 May)
    On trouve une équation du troisième degré, dont les solutions sont bien celles qui ont été données par @c-math. Mais je ne vois pas de solution niveau Troisième. J'aimerais la référence précise du manuel qui pose ce problème.
  • Moi non plus, je ne vois pas
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Rescassol
    Modifié (16 May)
    Bonjour,

    L'équation du troisième degré est $3x^3-3x+1=0$.
    Si on veut des valeurs exactes, il n'y a plus qu'à invoquer Cardan.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Thierry Poma
    Modifié (16 May)
    Si $a=0$, alors $b=c=0$ visiblement ; ce cas étant exclu par hypothèse. (...) Les réels $a$, $b$ et $c$ sont donc tous différents de 0.
    Remarquer que la première identité s'écrit aussi\[b^2=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\]soit encore\[b^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2\]ce qui, en vertu de la réciproque du théorème de Pythagore, nous conduit à considérer le triangle $B_1A_1C_1$ rectangle en $A_1$ et tel que $B_1A_1=\cdots$, (...)
    En procédant de la sorte pour les deux autres identités, serait-ce une piste d'ordre géométrique où l'on utilisera la trigonométrie ?
    PS : ne pas oublier qu'à cette époque, nous connaissions également le concept de valeur absolue...
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Salut, jolie, il y a une façon pour écrire ces solutions en fonctions trigonométriques; l'idée est de ce rappeler les formules des angles multiples, je crois que c'est niveau Première mais voilà l'idée: Que ça soit des équations en $\tan(x)$ ou comme ici $\sin(x)$. Donc si on obtient $3a^3-3a+1=0$, vérifier que si $\sin(3\alpha)=\sin(\dfrac{\pi}{3})$; $\alpha=\dfrac{\pi}{9}+2k\dfrac{\pi}{3}$ ou $\alpha=\dfrac{2\pi}{9}+2k\dfrac{\pi}{3}$. Ces valeurs $\alpha$ vérifient l'équation $\sin(3\alpha)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sin(\alpha)-4\sin(\alpha)^3$, ils sont en tous $\sin(20^{\circ}), \sin(140^{\circ}), \sin(260^{\circ})$, diviser ces solutions par $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et l'équation devient:
    $\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sin(\alpha)}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)-4\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\left(\dfrac{\sin(\alpha)}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^3$ qui est équivalente à $3a^3-3a+1=0$.
    Cordialement.
  • Salut,
    une application géométrique de ce problème : 
    soit $A_1A_2\cdots A_9$ un polygone régulier. On suppose que $A_1A_4=1$, $A_1A_2=\alpha,\,\, A_1A_3=\beta$ et $A_1A_5=\gamma$, alors le triplet $(\alpha,\beta,-\gamma)$ vérifie le système d'équations évoqué par @c-math. La preuve peut se faire soit par l'utilisation de la trigonométrie, ou bien en faisant appel au théorème de Ptolémée.
    Cordialement.
    For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident.
  • On retrouve aussi un triplet solution dans la construction par neusis de la trisection d'un angle de $60°$. Lorsque $OA=1$ alors $AB=a$, $OB=b$ et $OC=-c$ :

  • Pour être complet cet exercice est tiré d'un livre de math pour les élèves de 3ème en Roumanie. Je ne connais pas le programme exact chez eux et je me demandais si l'on peut résoudre ce problème sans passer par les équations du 3ème degré et la trigonométrie, d'où le but de mon post.

    Merci à tous pour vos contributions.
  • JLapin
    Modifié (21 May)
    Impossible d'échapper à la trigonométrie selon moi. Ils sont durs les exos de 3e en Roumanie !!
  • Les pays d'Europe centrale (Roumanie, Pologne, Hongrie, etc.)  apportent depuis longtemps une contribution éminente aux mathématiques, compétitions et autres. Ce serait sympa de pouvoir consulter ce livre in extenso.
  • Ludwig
    Modifié (21 May)
    Oui. Quelle année ce livre ? Et dans quel contexte ou chapitre cet exercice a-t-il été posé ?
  • le livre date de 1976, le titre est "exercices de mathématiques pour les classes de 3ème". Il y a environ 150 problèmes proposés, ils sont non résolus (mais quelques uns avec une indication), ils ne sont pas classés par chapitre mais par thèmes (c'est l'algèbre pour notre problème). 
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