Paraboles

Pour l'EDO de toutes les coniques de foyer $O$, autant rester en représentation cartésienne. Partant de $aX+bY+c\pm\sqrt{X^2+Y^2}=0$, on arrive à $y''D'-y'''D=0$, où $D=\displaystyle\frac{(x^2+y^2)(1+(y')^2+yy'')-(x+yy')^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$ ; avec un peu de courage, on peut exprimer $D'$

Bonjour,
oui, pour cette famille ; on peut la paramétrer par $t\in\R\mapsto(\pm_1t^2,\pm_2(Ct+D)^2)$ puis éliminer $C$ et $D$ entre $y,y'$ et $y''$. L'équation est homogène en la fonction inconnue car la famille est laissée stable par les homothéties de centre $O$ ; en revanche, elle contient explicitement $x$ car la famille n'est pas laissée stable par les translations horizontales.

Pour moi, la notation $\pm$ est ambiguë lorsqu'elle est utilisée plusieurs fois dans une formule ; je l'ai indexée pour dire qu'il y a deux valeurs pour chaque $\pm$ (et non pas égalité des deux valeurs, ce qui ne donnerait que la moitié des paraboles). J'aurais pu les noter $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$...

Plus répandue : ben oui, mais s'il y a à côté de cela un $\varepsilon$ qui tend vers $0$, faut-il l'appeler $\eta$ ?

Hélas, Piteux_gore, les MathSup, pas plus que les Spé, ne connaissent plus que les EDO linéaires ; et encore : seulement à l'ordre $1$ en Première année. Quant aux paraboles, je ne suis même pas sûr qu'il soit nécessaire de savoir les reconnaître autrement que par une équation de la forme $X^2=2pY$.

L'EDO est homogène en $y;y',y''$ ; on peut en abaisser l'ordre en posant $y'=zy$ et donc $y''=(z'+z^2)y$, d'où $2x(z^2+z')+z(1-xz)=0$, qui est une EDO de Bernoulli (pose $Z=1/z$).