Valeurs zêta multiples

Je propose de regarder une jolie identité.

Pour rappel, on note :  
$$\zeta(2,1) = \sum_{1 \le n < m} \frac{1}{n m^2} $$
On a l'égalité : $ \zeta(2,1) = \zeta(3)$

En voici une preuve assez élémentaire : 

D'une part
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \frac{m+n}{mn}$$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) =  \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{n(m+n)^2} + \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{m(m+n)^2} $$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)}  =  \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} + \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} = 2\zeta(2,1)$$

D'autre part
$$  \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right) = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \sum_{n\geq 1} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right)$$
$$  \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)}  = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2}\sum_{1\leq n \leq m} \frac{1}{n} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{m} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{n} \right)$$ 
$$  \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)}  = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^3} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{nm^2} = \zeta(3) + \zeta(2,1)$$




Calembour 

Réponses

  • Bonjour à tous
    pour ceux que Zêta multiple intéresserait, 2 très bon cours d'introduction fait à polytechnique sont accessibles sur Youtube.

    Cordialement,
    DZE
  • Bonjour,

    Un lien ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Le lien suivant pour le premier cours (1/2) :

    Très clair :smile:

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