Valeurs zêta multiples

dans Arithmétique
Je propose de regarder une jolie identité.
Pour rappel, on note :
$$\zeta(2,1) = \sum_{1 \le n < m} \frac{1}{n m^2} $$
On a l'égalité : $ \zeta(2,1) = \zeta(3)$
En voici une preuve assez élémentaire :
D'une part :
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \frac{m+n}{mn}$$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) = \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{n(m+n)^2} + \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{m(m+n)^2} $$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} + \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} = 2\zeta(2,1)$$
D'autre part :
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right) = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \sum_{n\geq 1} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right)$$
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2}\sum_{1\leq n \leq m} \frac{1}{n} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{m} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{n} \right)$$
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^3} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{nm^2} = \zeta(3) + \zeta(2,1)$$
Calembour
Pour rappel, on note :
$$\zeta(2,1) = \sum_{1 \le n < m} \frac{1}{n m^2} $$
On a l'égalité : $ \zeta(2,1) = \zeta(3)$
En voici une preuve assez élémentaire :
D'une part :
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \frac{m+n}{mn}$$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \le n,m} \frac{1}{(m+n)^2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) = \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{n(m+n)^2} + \sum_{m,n\geq 1}\frac{1}{m(m+n)^2} $$
$$\sum_{1 \le n,m} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} + \sum_{1 \leq n < m}\frac{1}{nm^2} = 2\zeta(2,1)$$
D'autre part :
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right) = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \sum_{n\geq 1} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{m+n} \right)$$
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2}\sum_{1\leq n \leq m} \frac{1}{n} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2} \left( \frac{1}{m} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{n} \right)$$
$$ \sum_{m,n\geq 1} \frac{1}{mn(m+n)} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^3} + \sum_{1\leq n < m} \frac{1}{nm^2} = \zeta(3) + \zeta(2,1)$$
Calembour
Réponses
-
Bonjour à tous
pour ceux que Zêta multiple intéresserait, 2 très bon cours d'introduction fait à polytechnique sont accessibles sur Youtube.
Cordialement,
DZE -
Bonjour,
Un lien ?
Cordialement,
Rescassol
-
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Bonjour!
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