Différence entre lieu et ensemble ?

Bonjour à tous,
à l'époque où il subsistait en Spéciales quelques moignons de Géométrie, des élèves s'étonnaient souvent d'entendre parler de lieu (quès aco ?) À ce propos, y a-t-il une différence entre cette notion et celle d'ensemble ? Par exemple, dira-t-on qu'un lieu est un cercle même si l'ensemble des points le constituant est un cercle privé d'un point ? Dira-t-on qu'un lieu est tel ou tel objet alors qu'il est vide dans des cas particuliers (parce que le triangle de référence est isovèle, ou rectangles, ou... ?)

Tiens, en voici un (il me semble que tout angle d'attaque fonctionne) : on donne un triangle $MAB$ ; par $A$ et par $B$, on mène deux parallèles (de direction variable). Quel est le lieu du point $C$, point de concours (et non pas de concourance  >:) ) des symétriques respectifs de $(MA)$ et de $(MB)$ par rapport à ces droites variables ?

 

Réponses

  • Je ne suis pas sûr qu'il existe une définition rigoureuse du mot "lieu". Dans l'usage que j'ai croisé, c'était toujours dans le but de déterminer quel était l'ensemble des points vérifiant telles contraintes, exactement comme dans l'exercice que tu proposes.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • $C$ appartient au lieu s'il existe une droite $\Delta$ telle que $(CA,\Delta)=(\Delta,AM)$ et $(CB,\Delta)=(\Delta,BM)$. Par soustraction, $(CA,CB)=(MB,MA)=(M'A,M'B)$ où $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(AB)$. On trouve que le lieu est le cercle $ABM'$.
  • Merci à tous les deux !
    Soc : peut-être aussi s'agit-il d'un terme archaïque antérieur au terme d'ensemble (de même que les proba ont conservé une terminologie propre).
    JLT : impeccable ! pappus va-t-il proposer à présent une homographie entre deux faisceaux de droites, et Rescassol un Morley des familles.
  • Bonjour
    Le souvenir que j'en ai,est que quand j'étais élève, le mot lieu était employé. Ensuite au début de mon enseignement, j'ai encore employé ce mot, puis ensuite plutôt ensemble. j'avais eu l'impression que les élèves pensaient plus facilement avec cette terminologie à la réciproque.
  • Bonjour, mav,
    au surplus, il me semble que, dans les ouvrages anciens,  il n'était même pas question de réciproque.
  • Merci, Héhéhé ! Curieusement, wikipédia donne d'emblée un exemple de lieu qui n'en est pas un (l'épitrochoïde est une trajectoire et n'est définie qu'à rotation près). 
  • gerard0
    Modifié (20 May)
    John_john, quand j'étais lycéen, dans les années 60, on étudiait pas mal de lieux (*) et quand on avait trouvé que le lieu était "sur une courbe donnée", on regardait toujours si tous les points de la courbe étaient dans le lieu. Donc la réciproque se faisait, sauf évidemment lorsque la preuve était faite par équivalence (mais on formalisait moins les logiques de preuve, il faut bien lire).

    Cordialement.
    (*) la géométrie occupait plus de la moitié du temps.
  • Rescassol
    Modifié (20 May)
    Bonjour,

    Puisque c'est si gentiment demandé par John_John, voilà du Morley:
    % John_John - 20 Mai 2024 - Différence entre lieu et ensemble ?
    
    % on donne un triangle MAB. 
    % Par A et par B, on mène deux parallèles (de direction variable). 
    % Quel est le lieu du point C, point de concours des symétriques 
    % respectifs de (MA) et de (MB) par rapport à ces droites variables ?
     
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b m
    
    aB=1/a; bB=1/b; mB=1/m;  % Conjugués (Morley circonscrit)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms u % Vecteur directeur des parallèles
    
    uB=1/u;
    
    [a1 a1B]=SymetriquePointDroite(m,a,a+u,mB,aB,aB+uB);
    [b1 b1B]=SymetriquePointDroite(m,b,b+u,mB,bB,bB+uB);
    [p1 q1 r1]=DroiteDeuxPoints(a,a1,aB,a1B);
    [p2 q2 r2]=DroiteDeuxPoints(b,b1,bB,b1B);
    [c cB]=IntersectionDeuxDroites(p1,q1,r1,p2,q2,r2);
    c=Factor(c)
    % On trouve c=(a*b*(a+b)*m - u^4)/(a*b*m)
    % C'est le cercle symétrique du cercle ABM par rapport à (AB)
    Ce cercle a pour équation $abz\overline{z} - (a+b)z - ab(a+b)\overline{z} + (a^2+ab+b^2)=0$.
    Son centre est $O'(a+b)$.
    On attend maintenant l'homographie de Pappus.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour,

    Voilà une propriété supplémentaire de cette figure.
    $U(u)$ est un point du cercle (unitaire) circonscrit au triangle $ABC$ déterminant par le vecteur $\overrightarrow{OU}$ la direction des deux parallèles.
    J'ai tracé en orange le lieu du milieu $N$ de $[CU]$.
    Le cercle passant par $T_1,T_2,T_3$ est également unitaire.
    On constate sur ce lieu des choses équilatérales évoquant Morley d'une autre façon.
    J'ai bien sûr l'équation complexe de ce lieu et les coordonnées des points associés si ça intéresse quelqu'un.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir à tous,
    gerard0 : j'étais au lycée au même moment que toi, donc, et je n'ai pas eu l'impression de cette préoccupation de réciproque. Il est vrai toutefois que l'usage des points à l'infini était bien commode lorsqu'il s'agissait de compléter un cercle épointé.

    Merci de ton calcul, Rescassol ! L'équation du lieu trilobé m'intéresse : l'existence d'une symétrie d'ordre $3$ est toujours fascinante lorsque l'on part d'un triangle quelconque.
  • J'étais pourtant dans le lycée le moins côté de Lyon (il n'y en avait pas en banlieue à l'époque, on venait presque tous de banlieue), mais nos profs étaient sérieux. La recherche d'un lieu était bien faite.
  • Rescassol
    Modifié (21 May)
    Bonsoir,

    Cette équation est un peu imbuvable, mais la voilà:
    $f(z,zB)=16*m*z^4*(a + b)^4 - z^3*(32*m*a^5 + 120*m*a^4*b - 8*a^3*b^3$
    $ + 200*m*a^3*b^2 +200*m*a^2*b^3 + 120*m*a*b^4 + 32*m*b^5)$
    $ - 2*z*(a + b)^2*(4*m*a^5 + 5*m*a^4*b - 3*a^3*b^3 + 5*m*a^3*b^2$
    $ + 5*m*a^2*b^3 + 5*m*a*b^4 + 4*m*b^5) + 4*z^2*(a + b)*(6*m*a^5 + 15*m*a^4*b$
    $ -3*a^3*b^3 + 20*m*a^3*b^2 + 20*m*a^2*b^3 + 15*m*a*b^4 + 6*m*b^5)$
    $ - (m*a^2 - b^3)*(- a^3 +m*b^2)*(a + b)^3 + 256*a^4*b^4*m*z^4*zB^4$
    $ + 16*a^4*b^4*m*zB^4*(a + b)^4 - 8*a^3*b^3*m*zB^3*(4*a^5 + 15*a^4*b$
    $ + 25*a^3*b^2 + 25*a^2*b^3 - m*a^2*b^2 + 15*a*b^4 +4*b^5)$
    $ - 512*a^3*b^3*m*z^4*zB^3*(a + b) - 128*a^4*b^4*m*z*zB^4*(a + b)^3$
    $ -512*a^4*b^4*m*z^3*zB^4*(a + b) - 2*a*b*m*zB*(a + b)^2*(4*a^5 + 5*a^4*b$
    $ + 5*a^3*b^2 +5*a^2*b^3 - 3*m*a^2*b^2 + 5*a*b^4 + 4*b^5)$
    $ - 128*a*b*m*z^4*zB*(a + b)^3 +384*a^2*b^2*m*z^4*zB^2*(a + b)^2$
    $ + 384*a^4*b^4*m*z^2*zB^4*(a + b)^2 +16*a^2*b^2*m*z^2*zB^2*(36*a^4$
    $ + 99*a^3*b + 131*a^2*b^2 + 99*a*b^3 + 36*b^4) +64*a^3*b^3*m*z^3*zB^3$
    $*(16*a^2 + 27*a*b + 16*b^2) + 4*a^2*b^2*m*zB^2*(a + b)*(6*a^5 +15*a^4*b$
    $ + 20*a^3*b^2 + 20*a^2*b^3 - 3*m*a^2*b^2 + 15*a*b^4 + 6*b^5)$
    $+ 16*a*b*m*z^3*zB*(a + b)^2*(16*a^2 + 17*a*b + 16*b^2)$
    $ - 8*a^2*b^2*m*z*zB^2*(a + b)*(24*a^4 +51*a^3*b + 64*a^2*b^2 $
    $+ 51*a*b^3 + 24*b^4) + 4*a*b*m*z*zB*(a + b)^2*(16*a^4 + 19*a^3*b$
    $ +26*a^2*b^2 + 19*a*b^3 + 16*b^4) - 8*a*b*m*z^2*zB*(a + b)$
    $*(24*a^4 + 51*a^3*b + 64*a^2*b^2 +$ $51*a*b^3 + 24*b^4)$
    $ -96*a^2*b^2*m*z^3*zB^2*(a + b)*(8*a^2 + 11*a*b + 8*b^2)$
    $ -96*a^3*b^3*m*z^2*zB^3*(a + b)*(8*a^2 + 11*a*b + 8*b^2)$
    $ +16*a^3*b^3*m*z*zB^3*(a + b)^2*(16*a^2 + 17*a*b + 16*b^2)=0$
    où j'ai désigné par $zB$ le conjugué de $z$.
    On a le milieu $C'(cp)$ de $[AB])$, soit $v$ un vecteur unitaire et $t$ un réel.
    On paramètre la courbe en la coupant par une droite variable passant par $C'$ qui est un point triple:
    $z=cp+t*v$, ce qui mène à l'équation:
    $Eq(t,v) = v^6 + 2*a*b*m*t*(16*t^4-20*t^2+5)*v^3 + a^2*b^2*m^2 = 0$ .
    On voit là la symétrie d'ordre $3$ et $Eq(1,v)=(v^3 + a*b*m)^2$.
    Je note $v_1,v_2,v_3$ les racines cubiques de $-a*b*m$, d'où $T_1,T_2$ et $T_3$.
    Si on remplace $v^3$ par $-a*b*m$, on obtient $4t^2+2t-1=0$, d'où $X_1$ et $Y_1$ etc...

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (21 May)
    Bonjour,

    Bon, en prenant $C'\left(cp=\dfrac{a+b}{2}\right)$ comme origine, l'équation est nettement moins imbuvable:
    $g(z,zB)=2*a*b*m*(16*z^2*zB^2 - 20*z*zB + 5)*z^2*zB^2 + z^3 + a^2*b^2*m^2*zB^3=0$.
    ce qui donne à nouveau:
    $Eq(t,v)=g(t*v,t*vB)=v^6 + 2*a*b*m*t*(16*t^4 - 20*t^2 + 5)*v^3 + a^2*b^2*m^2$

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci, Rescassol,
    pour résumer, le lieu de $N$ est une sextique et il était prévisible qu'elle soit rationnelle (unicursale) puisque les coordonnées de $U$ et de $C$ sont rationnelles (pour un paramétrage rationnel du cercle). 

    Puisque pappus ne suit manifestement pas ce fil, je ne vais pas tarder à dévoiler la mystérieuse homographie.
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