Somme d'isométries

Gache
Gache
dans Algèbre
Un oral de la Rms demande de montrer que tout endomorphisme de R^n euclidien canonique est une somme finie d'isométries vectorielles. Ce résultat m'interpelle. Quelle en est la clé ?

Réponses

  • bisam
    bisam
    Cela ressemble à un exercice pour @dSP ...
  • AORESpres
    AORESpres
    Présent ! En attendant que je retrouve mes codes d'accès, j'ai changé de compte.

    Une solution trouvée rapidement : d'abord c'est faux pour $n=1$ ! Toute la clef est dans le cas $n=2$, qui se traite fort bien par réduction au problème suivant sur les nombres complexes : montrer que tout nombre complexe est une somme de nombres complexes de module $1$, résultat qu'il convient de raffiner en montrant qu'on peut imposer un nombre pair de termes. Ensuite, on peut presque directement sauter du cas $n=2$ au cas général.
  • john_john
    john_john
    On doit pouvoir aussi procéder comme il suit : la décomposition polaire nous ramène au cas où $u$ est symétrique. Si dSP te dit que c'est faux pour $n=1$, crois-le sur parole :) ; pour $n\geqslant2$, il suffit de se ramener à une BON dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale et, en la décortiquant adroitement, au cas où cette matrice est de la forme ${\rm Diag}(\lambda,0)$. In fine, écrire $\lambda$ comme somme de complexes de module $1$ ; étudier le cas où $0\leqslant\lambda<1$ suffit alors.
  • AORESpres
    AORESpres
    On se passe très bien de décomposition polaire, cela étant...
  • AORESpres
    AORESpres
    L'exo aurait été faisable en sup du temps béni où les isométries y étaient enseignées (sans leur théorème de réduction canonique).
  • john_john
    john_john
    J'amende légèrement mon message d'hier : l'endomorphisme de $\R^2$ euclidien de matrice ${\rm Diag}(\lambda,0)$ correspond  à $\displaystyle z\mapsto\frac\lambda2(z+\overline z)$ et c'est donc plutôt $\lambda/2$ qu'il faut décomposer en somme de complexes de module $1$.

    On peut sans doute effectivement oublier la décomposition polaire en écrivant que tout endomorphisme est somme d'endomorphismes de rang $1$ puis déterminer une bonne réduction euclidienne de ces morphismes.
  • john_john
    john_john
    Oui ; ce n'est pas trop dur : si $u$ est de rang $1$, on choisit une BON adaptée à l'image d'icelui, dans laquelle la matrice soit de la forme (description par colonnes) : $(\lambda C_1,0,0,...0)$, où $C_1$ est une colonne unitaire. De ce fait, $u$ se décompose sous la forme $u'v$, où $u'$ est une isométrie et où la matrice de $v$, dans la même base, est ${\rm Diag}(\lambda,0,...)$.
  • Gache
    Gache
    Merci pour ces éclairages. J'aimais bien le passage par la décomposition polaire, que l'on pourrait qualifier de "stylée". Le passage par les endomorphismes de rang 1 n'est-il pas ce à quoi pensait AORESpres en disant "on peut presque directement sauter du cas n=2  au cas général" (car sinon, cela ne semble pas aussi "direct") ?? 

    Merci encore en tout cas. Ce résultat est intéressant.
  • dSP
    dSP
    Je pensais plutôt à décomposer une matrice carrée quelconque en somme de matrices de la forme $a E_{i,i}+b E_{i,j}+c E_{j,i}+d E_{j,j}$.
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