dénombrement

fanny · January 2006

j'ai un DM à rendre et je bloque. si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa. Merci.

Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On extrait n boules SIMULTANEMENT.
1/ Combien a-t-on de tirages possibles ?
2/ Soit p un entier tel que p soit compris entre 0 et n.
Démontrer que le nombre de tirages contenant EXACTEMENT p boules blanches est "p parmi n" au carré.
3/ En déduire la somme quand p commence à 0 jusqu'à n de "p parmi n" au carré
4/ Retrouver ce résultat en développant à l'aide de la formule du binôme les membres de l'égalité :

(1+x)^{2n}=(1+x)^n (1+x)^n

jp8 · January 2006

Explique nous ou tu en es... et l'on essaiera de voir comment on peut t'aider.
La question 1, c' est juste du cours.

Mikaël2 · January 2006

essaie d'abord avec 2 boules blanches et 2 boules noires.
regarde les possibilités de tirage:
- 2 boules noires
- 1 boule blanche et 1 boule noire
- 2 boules blanches
il y a donc trois tirages possibles.

maintenant avec 3 boules blanches et 3 boules noires:
- 3 boules noires
- 2 boules noires et 1 boule blanche
- 1 boule noire et 2 boules blanches
- 3 boules blanches
cela fait quatre tirages

puis avec quatre, on obtient cinq tirages possibles, etc...

regarde parmi les n boules que tu as tirées le nombre de boules noires qu'il peut avoir: 0,1,...n, ce qui fait n+1 possibilitées

pour le dénombrement je pense qu'il faut d'abord essayer de voir comment cela se passe avec des petits nombres, puis intuiter le résultat et enfin le démontrer proprement.

bonne soirée

jp8 · January 2006

Aïe Mikael.
Ce que tu dis est vrai MAIS :
Il faut dans cet exercice si on veut avancer considérer les boules numérotées : De 1 à n pour les noires et de n+1 à 2n pour le noires.
Et l'on ne prend pas seulement en compte "combien de boules de chaque couleur ai-je tirées ?" mais plutôt "quels numéros portent les boules que j'ai tirées ?".
Sinon aucune chance d'utiliser par la suite une probabilité uniforme, par exemple :
l'événement A "on tire autant de blanches que de noires"
est beaucoup plus probable que l'événement B "on ne tire que des noires".
On peut intuiter ce fait, ou bien le démontrer.
C'est pour ça que lorsque l'on met de l'eau dans son vin (pouark), les deux liquides acceptent de se mélanger.

Et j'accepte les contradicteurs avec plaisir !

GUEYE Abdou · February 2006

Je voulais savoir comment chercher le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments. (SENEGAL)

Robomarc1 · February 2006

Voila un lien pour dénombrer les dérangements:
 
 <a href=" http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./c/criblepoincare.html"> http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./c/criblepoincare.html</a>
 
 Marc

schwartz-gauss · February 2006

Bonjour
En fait fanny, cet exercice te proposes de calculer la somme:
$\displaystyle\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}^2=\binom{2n}{n}$.
La première partie propose une méthode dite ensembliste tandis que la seconde passe par le binôme de Newton.

Schwartz-gauss

schwartz-gauss · February 2006

Bon j'ai un peu de temps alors je te donne la méthode calculatoire.

Dans $(1+x)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}x^p$
Le terme en $x^p$ est donc $\binom{n}{p}x^p$
Dans le produit $(1+x)^n\times(1+x)^n$, le coefficient des $x^p$ est:
$\displaystyle\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}^2$

Il faut maintenant identifier le coefficient dans $(1+x)^{2n}$
Le coefficient des $x^m$ dans $(1+x)^{2n}$ est $\binom{2n}{m}$
Donc le coefficient des $x^n$ est $\binom{2n}{n}$.

Donc on a bien:
$\displaystyle\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}^2=\binom{2n}{n}$.

Je crois que c'est ça, enfin...Il faudrait que quelqu'un explique plus en détail pourquoi et comment on fait cette identification car on s'y perd un peu.

Amicalement

Schwartz-gauss

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